公理体系

大约在公元前300年的时候﹐古希腊数学家欧几里德在古希腊前人的数学基础上﹐写成了《几何原本》这本书﹐此书一共有十三卷﹐其中第一卷是有关讲述几何学的内容﹐可以说是古希腊几何学研究的集大成之作。这本书不仅奠定了古希腊几何学成为现代数学的一门重要分支﹐而且现在在中小学课堂上教授的经典几何学﹐也称为‘欧几里德几何学’ 。在此书第一卷中为研究几何学而开创的‘公理体系’ ﹐更成为了后世建立数学﹑物理乃至其它学科理论的逻辑架构和理论框架﹐这对后世影响深远。

在此书的‘公理体系’ 中﹐提到23个定义﹑5个公设和5个公理﹐然后再在此基础上推演出48个命题﹐其中每一个命题的结论都是以这些定义﹑公设和公理为基础﹐完全没有超出过它们的范围。其中的23个定义﹐就是对‘点’ ﹑‘线’ 和‘面’ 等概念所作的说明﹐也就是对这些概念中的内容所作的解释﹐以下的表格说明了23个定义的个别内容﹕

我们只要回想一下﹐古希腊人首次使用‘定义’ 模式的时候﹐就是用作定义字母的音素内容﹐把希腊字母指向各个音素﹐从而使音素的概念可以从大脑抽离出来﹐跃现在外界的媒体上成为文字。为了让希腊文字能够完全表记昔日只存在于口头(也是在大脑内)上的音素﹐为了保证文字的可读性﹐所以每一个字母必须经过‘定义’ 的过程来表记不同的音素。现在﹐古希腊人把听觉的认知模式﹐应用在认知视觉信息上﹐如同语音中的最小单位﹐在图形中的最小单位就是点﹑线和圆﹐然后再引伸组合出其它的基本概念—角度﹑面和形等等。语音单位—音素的进一步‘确定性’能够通过以文字字母的方式来提供。那么在图形方面﹐古希腊人也要以‘直尺’ 和‘圆规’ 的最简单方式﹐把这些视觉上的单位和基本概念表记在媒体上﹐从而指示出存在于大脑中的‘点’ 与‘线’ 等概念。但是视觉的信息往往要比听觉的语言来得复杂﹐因为前者并不是人类的发音器官制造出来的产品﹐而是不能控制的客观存在体﹐所以只由工具或媒体上的图形所提供到的‘确定性’ 是不够的。在这种情况下﹐古希腊人有必要使用最起码的语言对这些‘点’ 与‘线’ 作进一步的说明﹐因为由绘画而来的‘点’ 与‘线’ ﹐本身的外形不能完全说明它的本质﹐只有加上文字作保充﹐才能让大家了解到它的本质内容。例如定义2所指出﹐‘线是没有宽度的’﹐假如没有文字说明的话﹐只凭肉眼了解绘划出的‘线’ ﹐它的确是有‘宽度’ 的﹐因为人不可能见到没有‘宽度’ 的线。所以﹐以上表格中的23条定义﹐在通过作图表记的情况下﹐就更加突显出它的必要性。以下图总结一下﹕

在23条定义后还有5个公设和5个公理﹐公设的意思是‘假设’ ﹐是对几何作图方面的假设﹐其实就是把各种的几何作图手段‘量化分解’ 为最基本的步骤﹐反过来这些基本操作也就可以组合出所有的作图动作(如下图)。

例如﹐第一公设是﹐‘两点之间可以得到一条直线’﹐ 第二公设是﹐‘直线可作无限延长’ ﹐还有第三公设﹐‘只要给出一个点作‘圆心’ 和要求的‘半径’ 就可以得到一个要求的‘圆’ ’。其实这些公设基本上是根据上面23个定义中对‘点’ ﹑‘线’与‘圆’ 的定义而得来﹐可见这都是最基本的绘图操作。古希腊数学家又基于‘直觉’ 的原则﹐像如同分解语音单位中使用‘直觉’ 来判断音素为最小且不可分割一样﹐运用文字对最基本和不可再分的绘图操作的可行性作出肯定﹐这种可行性的肯定是几何作图的基础﹐而且作图的可行性又是不可求证的﹐所以﹐只能也唯有凭借‘直觉’ 对它作出肯定﹐并以文字方式提供说明﹐这就是公设的产生原因和背后所应用到的‘量化思维’ 模式。‘量化思维’ 模式就是把所有可能的绘图操作分解到最基本﹐然后以文字对它们作出假设式的肯定。以‘量化思维’ 而论﹐公设如同定义一样是‘结论’ 的‘前提’ ﹐没有‘前提’ 也就不可能得到‘确定性’ 的结论﹐这就是得到正确和有意义的绘图操作 。

至于最后的5条‘公理’﹐ 顾名思意﹐它称为‘公理’ ﹐这是因为它是放诸四海而皆准的逻辑法则﹐它们也是在‘量化分解’ 后成为最基本和不可再分的逻辑法则(如下图) 。
就是‘逻辑量化点’。公理一就是﹐‘如果甲等于丙﹐而乙也等于丙﹐那甲等于乙’。像这样的公理﹐说明的是‘等于’ 这一个逻辑运算的概念﹐以及它具有的‘传递性’ ﹐这公理是对逻辑法则的说明和定义﹐ 几何学中的分析操作以这些法则为工具。如果﹐我们以现代代数的方式来演绎这5条公理的内容,如下表:

我们就可以发现﹐这些公理其实就是代数中赖以存在的运算法则﹐在上文中已命名其为‘量化逻辑点’ 。‘量化逻辑点’ 属于‘量化逻辑’ 中的内容﹐它如同‘量化概念’ 一样也是逻辑系统中的基本点﹐数量简化到最少﹐内容也尽量的简单。就以这个公理一为例﹐我们不难发理这个‘等于’ 的概念来自于‘三段论’ 的逻辑﹐也就是从‘语言-文字’ 认知过程中推导而来的逻辑法则﹐假如以语言-字母的方式来说明这公理一﹐也可以是﹐语言中的单词等于‘概念’ ﹐以字母表记的单词等于语言单词(因为保证没有音素流失) ﹐那样字母表记的单词也就等于‘概念’ 了。虽然﹐我们不可能完全肯定这些公理的出处和与古希腊语的关系﹐但是我们可以想象到古希腊人的‘语言-文字’认知过程﹐的确可以启发到古希腊人在先于其它民族的情况下总结出这样的公理﹐还有‘量化思维’中的‘直觉’ 和‘量化分解’ 与逻辑法则的模式﹐也都是造成古希腊人建立‘公理体系’的客观条件。基本上古希腊人开创的‘公理体系’ 包括了‘量化思维’ 模式中的这些内容﹕

• 定义﹕对‘量化概念’ 和其它基本概念的定义﹐这是针对专门‘学科’ 概念的定义﹐所以带有专门性﹐这也是通过‘定义’ 过程而来的‘量化逻辑点’。
• 公设﹕对专门学科的操作可行性作‘假设’ ﹐并且把操作内容‘量化分解’ 至最基本的单位 。这如同‘量化概念’ 作为认知目标的最小和最基本的单位一样﹐一切的组合由这个‘量化概念’ 开始。对于语言的认知﹐一切从字母表记音素开始﹔对几何学﹐从点与线的组合开始﹔至于绘图操作﹐就由‘公设’ 开始。通过文字注释表达的‘公设’ ﹐从这些基本‘公设’ 就可以组合出所有的绘图动作﹐‘公设’ 的‘确定性’来自‘直觉’ ﹐这也是有关绘图操作的‘量化逻辑点’。
• 公理﹕这是具普遍性 的‘逻辑量化点’﹐它的‘确定性’来自‘直觉’ 。

现在﹐我们可以利用说明‘量化思维’ 的图表﹐具体的解释古希腊几何学中体现的‘量化思维’ 模式。

我们可以从上图了解到﹐几何学之所以能成为一项专门的学问﹐这是因为几何学自古希腊时代开始就采用了‘直线’ 与‘圆’﹐还有‘字母符号’ 作表记方式﹐把在大脑中的‘量化概念’抽取出来反映在外部媒体上。因为使用了作图和借用了文字中的‘字母’ 作为符号来指示具体的图形 ﹐不仅加强了‘量化概念’的‘确定性’ ﹐同时令几何学在‘量化逻辑’ 的辅助下正式定形。不过在当时﹐表达数量和逻辑关系方面除了几何图形和数字外﹐还是要依靠文字的方式﹐在论述逻辑演绎过程上﹐也完全依靠文字来叙述﹐这种情况要等到欧洲人发展出数学符号后才能够得到突破 。 以上讲述的是古希腊人从语言认知和文字创造模式中﹐发展出‘量化思维’ 模式的过程﹐然后再把‘量化思维’ 模式应用到‘视觉’ 认知上﹐这样就产生出古希腊几何学 ﹐伴随而来的就是‘公理体系’的出现 。