思维工具决定认知能力

数学符号是一种符号系统﹐也是思维的工具﹐因此其中的符号必须要尽量的简炼﹐它的简炼性需要达到提炼概念的水平。如果﹐我们今天还像古希腊人一样使用语言文字代替符号的话﹐我们也不可能有今日的数学成就和科技水平。这种情况曾经发生在十八世纪的英国‘后牛顿’ 年代﹐牛顿(Isaac Newton﹐1643-1727)与当时德国数学家尼布莱兹(G. W. Leibniz﹐1646-1716)﹐分别在独立研究的情况下﹐发展出‘微积分理论’ ﹐也创造出两套不同的数学符号来表记‘微积分’ 中的概念和关系﹐前者因为以‘‧’表示微分概念﹐所以牛顿的符号系统称为‘点主义’ ﹐而后者尼布莱兹使用‘d’ 来表示﹐因此称为‘d主义’ 。具体的表示方式可以通过以下的例子来说明。伽利略(Galileo Galilei，1564-1642)曾经求得这样的‘自由落体公式’ ﹕d=16t2。d表示在时间t后自由落体所经过的距离﹐如果﹐我们想求得﹐在时间t=4时(d=16‧42=256)﹐物体在那一瞬间的速度﹐我们就需要引入两个量k与h﹐h表示微小的时间变化﹐k则是在那时间后所经过的距离﹐因此得到﹕
256+k=16(4+h)=256+128h+h²
k =128h+h²
k/h=128+h
因为一个微小的量﹐可视之为0﹐所以h=0﹐然后得﹕k/h=128﹐这表示在时间t=4时﹐物体的速度为128。牛顿以指示k/h﹐得=128﹐这个就是‘流数’ 或‘流量’ ﹐英文为 ‘fluxion’ 辞源来自拉丁文‘flow’ 。‘流数’ 就是‘距离’ 或‘数量’ 在微小时间内的变化值。这种加‘点’ 的表示方式﹐现在仅用于工程学中﹐表示对时间的导数。但是对尼布莱兹来说﹐他却采用了另一种完全不一样的方式来求得﹐这就是‘解释几何’的方法﹐如下。

他使用dy取代 h ﹐dx取代 k。dy与dx则在x=4这一点上增多的量﹐这个量少得不能再少﹐比所有已知的量也少。因此﹐牛顿的‘流数(fluxion)’ 其实就是dy与dx构成的斜率﹐表示方法是﹕

从符号的表示可见﹐我们看到莱布尼兹比牛顿对‘流数’ 的概念表达得更加深入﹐牛顿的概念只停留在某个数量对时间的变化而构成‘流数’ ﹐他没有像莱布尼兹那样把这个概念再‘量化’为两个量的比例关系﹐然后分别以不同的符号表示。相同之处是﹐这两位微积分创始人都未能在他们的著作中对这个‘微小的量’ 给出一个准确的定义﹐虽然两者都提到过‘极限’ 这个概念﹐不过只停留在文字上触及的层面﹐还没有对‘极限’ 的概念作出深入的解释。这件‘定义’工作要到Jean d'Alembert (1717-1783) 手上才获得完满的解决﹐而他的工作需要建筑在莱布尼兹的符号工具上﹐把dy与dx的关系引入‘极限’ 的概念作定义﹕

如果没有莱氏的符号系统﹐我们很难想象这样一个定义可以通过牛顿的‘流数’ 方式来表达﹐正因为有效的符号释放出的思维力量﹐莱氏把微分符号引伸到‘积分’ 概念中﹐以∫ydx (∫来自‘s’ 的变体﹐表示‘summation’ ﹐即‘和’ 的意思)清晰的反映出积分其实就是微分运算的逆运算﹐他首先提出了这条微积分学的基本原理。但是牛顿因为没有使用有效的符号系统﹐所以他还停留在通过求近似值的方式来计算积分。因此﹐今天的微积分符号只采用当年莱氏创立的那一套系统﹐因为他的概念是牛顿‘流数’ 概念的再‘量化’﹐ 而且可以把这种‘量化’ 关系完全的反映在符号上﹐同时符号的表记方式也提供到一定的‘确定性’ ﹐让dy与dx成为两个独立的‘量化量’ ﹐所以这个‘量’ 除了可以表示除法关系外﹐也可以表示‘积分’ 的乘法关系﹐更可以引入‘极限’ 的定义。因为﹐这个‘量’ 是独立的﹐所以产生了‘微分导数’ 的‘连式法则’和各种函数的导数运算等﹕

设dy/dx=f’(x), dy=f’(x)dx
当x是一个函数时x=g(u),
那么dx/du=g’(u), dx=g’(u)du,
最后可以表示为dy=f’(x)g’(u)du, dy/ du =f’(x)g’(u) 。

可见微分导数中也具备‘四则运算’ 一样的法则﹐能够实现以上通过符号进行的思维操作﹐也是拜莱氏的微分符号所赐﹐如果我们至今还使用牛顿式的‘流数’ 符号﹐人类的思维能力一定受到这种符号的禁棝﹐而不知要比现在的认知水平落后多少了。

在历史中﹐这种情况的确在英国发生了。在整个的十八世纪直至十九世纪时期﹐英国和欧洲大陆都分别使用不同的微积分符号。因为牛顿在英国的影响力﹐所以英国人使用‘点主义’ 微积分符号﹐而欧洲则使用‘d主义’ 。但是到十九世纪中﹐英国数学家巴巴克(Charles Babbage﹐1791-1871)发现英国的数学﹐在使用了牛顿的‘点主义’ 后﹐因为这套符号在分析操作上比不上‘d主义’ 那样的有效﹐而造成英国数学比欧洲大陆落后的后果﹐所以他呼吁英国人也应该使用欧洲的‘d主义’ ﹐而全面放弃原有的牛顿式符号。自此﹐延续百年的符号纷争也至此而告上一段落﹐但是英国却因为使用了不清晰的符号系统﹐而导致英国数学曾经一度失去了与欧洲学术界并驾齐驱的地位。一个小小的符号﹐真有想象不到的威力﹐但是只要明白到符号就是思维工具﹐符号扣动着大脑信息处理的‘板机’ 。所以﹐在一方面它能够释放大脑中的思维力量﹐而另一方面也可以禁制思维能力。

现在﹐笔者想以古代的阿拉伯和中国数学为例子﹐说明一下在欧洲正式使用数学符号之前﹐其它的民族在没有数学符号作为工具的情况下﹐是如何解决‘代数’ 问题的。我们从以下的两个例子中看到﹐没有数学符号作为数理概念的提炼工具﹐人们只能以其它的表记形式和分析工具进行数量分析﹐而这种工具与数学符号相比﹐不仅不能有效的分析数理关系﹐而且它也不能总结普遍性的数学规律。在这种情况下﹐也就只能解决局部的数学问题﹐再没有潜力来发展成为解决普遍问题的分析工具。因此这些工具只能成为数学符号出现之前的权宜方法。在人类认知进步的车轮下﹐它们是一定要被淘汰的。

公元九世纪的阿拉伯数学家﹐Al-Khwarizmi(被誉为‘代数之父’﹐790-840) 着有‘代数’著作《A Brief Account of the Methods of al-Jabr and of al-Muqabala》 (其中al-Jabr就是后来英文名词‘代数’ 的出处﹐它的意思是‘转换’ ﹐而al-Muqabala指的是‘平衡’ )。他对代数的主要贡献﹐是首先对‘一元二次方程’ 作出过较有系统的研究。

‘一元二次方程’ 就是在方程中只有一个未知数﹐而且未知数带有‘二次方’ 关系的方程。如下﹕
A x²+B x+C=0

而且这种方程最多有两个解。因为当时没有代数符号的帮助﹐阿拉伯只能像古希腊人一样﹐需要依靠几何的方式来解决这类问题。在几何的范围内负数是没有意义和不存在的﹐所以阿拉伯人只能把‘一元二次方程’ 分解为以下的六种情况﹐然后再分别进行解答﹕
1. ‘平方’等于‘根’ 。例子﹕x²=2x。(‘平方’ 指x2﹐‘根’ 指x。)
2. ‘平方’等于数值 。例子﹕x²=4。
3. ‘根’等于数值 。例子﹕2x=2。
4. ‘平方’ 与‘ 根’等于数值 。例子﹕x²+10x =39。
5. ‘平方’ 与数值等于‘根’。例子﹕x²+21 =10x。
6. ‘根’ 与数值等于‘平方’。例子﹕5x +6 = x²。

以上前三种清况是很容易解决的﹐至于以后的三种情况﹐就需要借用几何的方式找到解决问题的步骤﹐然后用文字形式把求解的计算步骤叙述出来﹐把它固定为一种文字‘公式’。笔者将以第4与5种情况为例﹐尝试向读者介绍一下这些有趣的‘非代数’ 解决方法。
情况4﹕x²+10x =39
阿拉伯人将会作出以下的几何图形﹕

当用几何方法成功解决问题后﹐阿拉伯人再用文字方式把计算步骤固定下来﹐成为一种普遍法则﹐也就是文字公式﹐如下﹕

• 把‘根’分作一半﹕
  现在‘根’的数值为10﹐一半是5。
• 然后把这个结果作平方﹕
  5的平方是25。
• 把这个结果与方程中的‘数值’相加﹔
  也就是25加39等于64。
• 然后再开方﹕
  64开方是8。
• 把结果减去‘根’ 的一半﹐这个结果就是问题的‘解’﹕
  这是8-5=3。

从上面的文字公式﹐我们可以把不同的数值代进入到‘公式’中﹐再经过公式中的操作步骤就可以求得答案。
情况5﹕x2+21 =10x

文字叙述为﹕

• 把‘根’分为一半﹕
  10的一半是5
• 然后把这个结果作平方﹕
  5的平方是25。
• 从这个结果中减去方程中的‘数值’﹕
  25-21=4
• 把这个结果再开方﹕
  4的开方是2。
• 用根的一半减去这个结果﹐这就是问题的‘解’。
  5-2=3。

以上就是阿拉伯人在没有代数符号的情况下﹐利用了几何分析和文字叙述的方式来解决‘一元二次’方程的方法。以下的内容又把我们带回到公元十三世纪的中国宋代﹐看一下数学家李治是如何解决一元高次方程的﹐在中国的情况与阿拉伯人的有点不一样﹐中国人发明了一种算术工具﹐名为‘算筹’ ﹐它作为‘算盘’ 的前身﹐是一种把数量以算板上的算筹作表示﹐然后进行算术运算的方法。虽然在算板上没有使用到任何的数学符号﹐但是‘数量’ 的摆放位置起到‘列方程式’ 的一定作用﹐这样的功能能够令到代数方程中的数量关系显得明朗化﹐以‘红色’ 和‘黑色’ 表示的数量﹐分别表示‘加数’ 与‘减数’ ﹐这意味着允许‘负数’ 的存在。中国人解决一元高次方程的方法是使用‘近似法’ ﹐这比西方在十六世出现同类型的方法早了三百年﹐这种方法以反复演算的方式﹐把方程中的解以近似值的方式求出﹐所以这种方法其实可以应用到所有的一元方程上﹐中国人甚至把这种方法用作求解一元十次方程。
例﹐有如下的‘一元四次’ 方程﹕
-x3+7632x2-4064256=0
以算筹作表示的方式是﹕

中国人的做法是从‘常数项’ 的头三位数字估计一下‘解’ 的范围﹐假设用80代入方程中﹐得到的结果比较接近﹐因此用x=y+80代入方程中﹐得到新的方程是﹕
-y⁴-302y³-30768y²-826880y+3820554=0
之后再估计一下解的数值﹐最后试到‘y=4’ 时﹐方程完全满足而成立﹐所以方程的解为x=80+4=84。 中国人采用这种算术式的方法﹐就可以完全发挥到‘算筹’ 这种中国独有的计算工具的优点。基本上所有的一元方程只要花一定时间﹐就可以计算出近似的方程解﹐满足到工程和实用计算的需要。因为﹐这种方法没有对数理关系的进行深入分析﹐像以上的方程其实可以分解为多项因式﹐求出4个的方程解﹕
-(x+84)(x-84)(x-24)(x+24)=0  x=84﹐-84﹐24﹐-24

要做到这一点﹐只有使用西方人发明的数学符号作为工具﹐才可能达到这种认知水平。中国虽然在后期也有一种以算筹为工具﹐发展而来的多元方程‘消元术’﹐以‘天﹑地﹑人﹑物’ 表示最多4个未知数。但是这只是写在算筹上﹐用作表记某位置上的数量和未知数的关系(如上表)﹐然后再通过一定步骤的操作来作消元求解﹐但是这种‘未知数’ 的指示方法﹐就并非是现代数学中那种可以完全参与运算的指示符号了。

至于几何学方面﹐中国人比古希腊人毕氏提早500年发现‘勾股定理’ ﹐但是如果我们比较古希腊人(阿拉伯人也采用古希腊式几何学)与中国人对‘勾股定理’ 的证明方法﹐我们就会发现相对古希腊式的‘几何学’ 方式﹐中国人却采用了一种拼图式的‘巧妙’方法﹐这种方法不是建基在‘几何学’ 的演绎逻辑与公理体系上﹐而是通过对图形特征的观察﹐类比/归纳出直角三解形与正方形的外形特点﹐也就是外形属性, 然后对它们作拼合后再总结而成的定理。如下可通过‘象化符号系统’ 作表示:

这种方式完全采用了‘象化思维’ 中‘取象类比’ 的操作﹐实际就是一种‘象化思维’ 的智慧产物(请参考专章‘中国式的机智与聪明’) 。现在﹐就先让我们来看一下欧几里得在《几何原本》上的证明吧, 简述如下:

笔者把以上的求证方式简化﹐但我们都可以看到这是一种不折不扣的几何学求证方法。至于东方式的求证法出现在三国时代﹐数学家赵爽造出以下的‘勾股圆方图’ ﹐他把图中的直角三角形涂成‘红色’ ﹐命名为‘朱实’ ﹐而中间的小正方形为‘黄色’ ﹐名为‘中实黄’ ﹐这样通过图形的拼合就可以‘不证自明’ 的求证出‘勾股定理’。

以下笔者再列出两种中国数学家曾经对‘勾股定理’ 所作的证明方法﹐他们都使用‘拼图’ 的形式﹐但只是在操作和图形的拼合上有所差别而己﹐从中都可以体现出‘象化思维’ 模式。 例一相传是西周数学家商高的证明方法﹐例二为《九章算经》的作者—数学家刘征的‘出入相补’ 法﹕
例一﹕

例二﹕

《九章算经》成书于公元50-100年间﹐它总结了先秦到秦汉以来的数学成就﹐可以视之为中国数学著作中影响最大的一本数学专着﹐在此书中收集了246条数学应用题和求解方法﹐列入九个篇章中。从这个九篇章的概要内容中﹐我们可以看到东方数学的研究对象﹐完全放在生活实用性上﹐这就与同一时期﹐作为现代数学前身的古希腊数学大相回异﹐以下是此书的概要﹕
第一章，「方田」：
平面图形面积的量法及算法，如矩形、三角形、圆、弧形、环形等的田地的求积公式，及分数算法，包括加减乘除法、约分﹝将分母，分子用辗转相除法求出它的最大公约数再作约分﹞、分数大小的比较及求几个分数的算术平均数等。
第二章，「粟米」：
各种粮食交换之间的计算，讨论比例算法。
第三章，「衰分」：
比例分配问题。
第四章，「少广」：
多位数开平方，开立方的法则。
第五章，「商功」：
立体形体积的计算。
第六章，「均输」：
处理行程和合理解决征税的问题，尤其是与人民从本地运送谷物到京城交税所需的时间有关的问题，还有一些与按人口征税有关的问题，其中还夹杂着衰分、比例及各种杂题。
第七章，「盈不足」：
算术中的盈亏问题的算法，实际上就是现在的线性插值法，它还有许多名称，如试位法、夹叉求零点、双假设法等。
第八章，「方程」：
有关一次方程组的内容，最后还有不定方程。将方程组的系数和常数项用算筹摆成「方程」，这是《九章算术》中解多一次方程组的方法，而整个消元过程则相当于代数中的线性变换。在方程章里提出了正负数的不同表示法和正负数的加减法则。
第九章，「勾股」：
专门讨论用勾股定理解决应用问题的方法。

最后总结一下以上所提及的代数求解和几何证明﹐我们可以认识到﹐在没有符号作为数理分析工具的情况下﹐阿拉伯人与中国人都发挥了本身在传统数学工具上所具备的优势﹐分别以几何图形与算筹的表记方式解决代数问题。在几何证明方面﹐中国人以模拟属性的拼图方式来求证几何问题﹐而古希腊人(包括阿拉伯人) 则通过几何元素和几何绘图方法来求证﹐在缺乏几何元素和公理体系的情况下﹐中国人的几何研究只能停留在图形的特征上﹐而不能深入到点与线的关系中。对于代数研究﹐阿拉伯人以几何方法代替代数符号﹐以几何关系来分析代数中的数量关系﹐在某种程度上求得具有普遍性的‘文字公式’ ﹔而中国人则使用算筹作运算工具直接在数量上进行求解﹐这样在不对数量关系作分析的情况下﹐中国人就只能求得方程的数量解而不是普遍解﹐这样也就不可能找到具有普遍性的代数公式。以下在表一中﹐对西方﹑阿拉伯和中国在代数研究方面﹐所使用的工具和认知程度作比较。接着在表二中﹐比较了古希腊人与中国人在几何学方面的相对应情况﹐也以此总结来结束本节。

表一:

表二: