永不停息的工作=永不停息的「认知」
因为‘非欧几何学’ 的产生﹐‘量化思维’也就慢慢把‘神’ 这个概念从‘量化认知’ 模式中淡化出去。经历过这次的‘事变’过程后﹐欧洲人就开始重新回过头来﹐审视这个长期经营的‘量化理论’ 模式是否也存在着其它的问题。当欧洲人平心静气的回顾他们所创造的数学成果时﹐他们不难发现﹐其中存在着不少的矛盾部份或者存在着没有充足逻辑理据下的推论﹐这些的‘问题’ 似乎充份反映出数学的‘人为性’﹐这些问题也有可能在某一天﹐变成导致数学这幢理论大厦倒塌的蚂蚁洞。以下就是一些有关的问题﹕
- 印度人从有理数的平方积关系﹕√36=√9√4=>√AB=√A√B﹐认为这个关系存在普遍性﹐也可以用在‘无理数’ 上。
数学家欧拉也认为可以根据√AB=√A√B﹐认为√-1√-4=√4=2。但在﹐这种推理背后不存在充份的理据﹐因此﹐古希腊人也从来不轻易承认‘无理数’ 的存在。 - 数学家莱布尼兹认为㏒(-A) 没有意义。
但是有人认为可以是㏒(-A)= ㏒A﹐
因为﹕㏒(-A)= 1/2㏒(-A)2
= 1/2㏒A2 (借用了(-A)2= A2 的关系﹐把-A代换成A)
= ㏒A
不过﹐㏒(-A) 如同√-1一样的确不存在任何物理意义﹐而到目前为止也只是一个数学符号上的概念。 - 无穷多项式﹕1/(1+x)=(1+ x)-1= 1- x + x 2- x 3+ x 4…
如果x =1﹐(1+1)-1=1/2=( 1-1)+(1-1)+(1…=0
或 =1-(1-1)-(1-1)…=1
所以变成1/2=0 或 1﹐显然这个结果违反数学逻辑。
但是如果设右边数列为一个整体﹕
1-1+1-1+1…=S=>S=1-(1-1+1-1+1…)=1-S=> S=1-S=>2S=1=>S=1/2
这样﹐数列右边又等于左边的‘1/2’了。
可见对无穷数列来说﹐使用不同的划分法﹐将会得到不一样的结果﹐这在当时又是一个存在的问题。(后来﹐西方数学家才明白到无穷数列可分为‘收敛’ 与‘发散’ 两种﹐这是其中的性质。) - 对自然数列每一个自然数都可以找到一个相对的‘偶数’ ﹐本来自然数列中包括‘偶数’ 与‘奇数’ ﹐按这种逻辑﹐自然数的个数应该比偶数要多﹐但是如果按以下这种一对一的比较多法﹐无穷的自然数总数量似乎与偶数的个数一样的多﹐这样矛盾又出现了。
(这个问题最后引发出‘集合论’ 的产生﹐‘集合论’ 对自然数列作出重新定义后﹐这个问题也在新定义下得到完满解决。不过﹐好景不长﹐在二十世纪初﹐英国数学家罗素(Bertrand A.W. Russell﹐1872-1970)提出了‘罗素悖论’ ﹐这是对‘集合论’ 的质疑。) - ‘罗素悖论’ 以‘集合论’ 的表示形式为﹕
X={x| x
X} (X是一个集合﹐其中的元素x不属于集合X)
如果x∈X(x属于集合X) ﹐则xX(x不属于集合X) ﹐如果xX(x属于集合X)则x∈X﹐显然x∈X与xX自相矛盾。把这个‘集合关系’ 通过日常生活中的例子来表达﹐就是‘理发师悖论’ ﹐有一位理发师作出声明﹕‘他只给不给自已刮胡子的人刮胡子。’那样﹐他究竟应不应该为自已刮胡子呢﹖这显然又是自相矛盾了。后来﹐罗素等人引入了更多的集合公理﹐把集合的公理体系完善后﹐总算把风波平息过来。
- ‘三球问题’ ﹕这个问题指三个物体﹐例如是三个球体﹐如果同时相撞﹐或者像月球﹑地球和太阳﹐通过万有引力互相作用于其它的两方﹐到目前为止﹐人类的认知能力也不足以预测‘三球’ 在同时作用后的运动方向。
鉴于以上的种种问题﹐‘量化思维’ 在十九世纪开始发起了对数学逻辑作出全面检讨的运动。因为‘量化思维’ 的理论模式到那时为止﹐已经简化到只有‘直觉’﹑ ‘量化概念’与‘逻辑量化点’的基本元素﹐‘直觉’的判断来自大脑﹐这是与生俱来的﹐因此不能对大脑的生物功能作任何的修改﹐而‘量化概念’已经是在当前认知水平下确认为最‘量化’ 与‘不可分割’ 的概念﹐对它的再‘量化’ ﹐这意味着新理论的诞生。所以﹐在认知水平不作改变的情况下﹐‘量化思维’ 只能对‘逻辑量化点’ 作出进一步的完善﹐这就是所谓的‘公设’ 与‘公理’ 。如果能把逻辑系统修改得更加完善﹐由逻辑推导出的数学理论的正确性也可以得到保证。于是﹐从十九世纪末开始﹐‘量化思维’ 的西方社会开始了一系列对逻辑体系的整理运动﹐其中的内容包括有﹕
- 对新公理的建立(例如﹐罗素通过建立新公理解决了‘罗素悖论’) 。
- 改良现有公理﹐通过更加简洁的语言重新表达公理﹐这是对公理在表达方式上的简化(例如现在我们使用的‘平行公理’ ﹐它在1795年由John Playfair提出﹐现在普遍成为教科书上的标准版本﹐语句比原有的欧几里德版本更简化和语意更精要。) ﹐尽量把长话短说﹐三个句子可以简化为两个句子的﹐就由两句子来取代等等。
这种对理论模型的巩固工作﹐虽然不能完全保证将来不会再发生任何的理论危机﹐但是毕竟可以把这种机会通过人为的努力降到最低﹐这就是‘量化思维’ 永不停息的工作﹐在这种工作中﹐‘量化思维’ 的认知能力也得到不断的拓展。