非歐幾何學—量化概念的重整

由古希臘人以‘量化概念(定義)-量化邏輯點(公設-公理)’ 的模式開創了‘歐式幾何學’ 后﹐‘公理體系’ 也隨之面世。‘量化思維’一直以這個‘量化概念’ 和‘量化邏輯點’ 作為基礎﹐創造出各種各樣的‘量化理論’ 。因為在‘量化理論’ 中﹐理論的拓展完全建基於最底層的‘量化概念’ 和‘邏輯量化點’ 上﹐然后層層迭加再組成理論的大廈。鑒於這種理論的建立模式﹐‘量化思維’ 在向前發展理論的同時﹐不時也要向后重審一下理論的基點—‘量化概念’與‘邏輯量化點’的正確性﹐看一下有沒有修改的必要﹐能否再把現有的‘邏輯量化點’ 作進一步簡化或者把‘量化概念’ 再作分解﹐從而充份擴展認知的內容。除此﹐對這些理論基點的不斷重審﹐還可以盡早發現其中的問題﹐不然在不正確的基礎上構筑的理論大廈﹐最終還是要面對倒坍的命運﹐之前所花的時間與精力就會成為白費。

因此﹐自從‘歐式幾何學’ 面世后﹐歐洲人一直認為其中的第五公設﹐也稱‘平行公設’ 使用的語言太冗長﹐第五公設就是﹕
"如果一條直線與兩條直線相交而形成一邊的內角和少於兩個直角的和﹐隻要把這兩條直線作無限延長﹐它們最終會在形成少於兩個直角和的內角那一邊相遇。”

從定義及公設推導出的48條命題中﹐第五公設隻使用過一次而已﹐隻是對命題29起過作用。這樣就讓人們懷疑到﹐‘平行公設’是否可以被其它公設所取代﹐或者由其它公設推導而成﹐令它從公設的地位降為命題。這就是爭論了上千年的‘第五公設’ 問題。

時間來到十九世紀的俄國﹐數學家羅巴切夫斯基(Nikolay Ivanovich Lobachevsky﹐1792－1856) 希望通過以一條與第五公設相矛盾的新公設﹐取代第五公設﹐然后把它與其它原有公設一起作基礎﹐推導命題和定理﹐看一下推導出的命題和定理是否在邏輯上有矛盾性。如果是這樣的話﹐這就反証了第五公理的正確性。但是結果卻出人意表﹐從他使用的新公設‘在直線外一點上至少有兩條直線與這條直線平行’ 出發﹐經過嚴密的邏輯推導后﹐羅氏得出很多完全沒有與原有公設相矛盾的命題與定理﹐但是它們卻與我們的直覺相違背﹐像是‘三解形的內角和小於180度’ 這個定理﹐還有‘垂直同一直線的兩條直線延長后﹐離散到無窮’ 。這些都是與我們的直覺和經驗相背的結論﹐但是卻沒有發生任何違悖‘邏輯’ 的地方。在同一時期﹐德國數學家黎曼(Bernhard Riemann﹐1826-1866)同樣以新的公設取代第五公設﹐他的新公設不承認並行線的存在﹐認為‘在同一平面上的兩條直線總有一個相交點’ 。從這一假設出發﹐他得到的‘三角形內角和’ 大於180度。這兩位數學家的研究都同時說明了‘第五設’的不可証明﹐而且隻要以新的公設代換這條公設﹐就可能得到完全合符邏輯的新結論﹐但有可能與我們的直覺相違背。

這仿佛說明人類的邏輯隻是一些人類自已創造出來的產物﹐或者是一台生產理論的機器﹐放進怎樣的原材料(公設和公理) ﹐就會生產出怎樣的產品。如果原材料在當初已經是有違直覺的話﹐出來的產品也有同樣的問題﹐這就意味著理論中的‘量化概念’或‘邏輯量化點’與‘直覺’判斷的正確性沒有關系。如果﹐我們回想一下上文有關‘神’ 與‘直覺’ 之間的關系。本來一個完美的循環系統﹐現在因為得出的理論與‘直覺’ 和‘常理’ 不符合﹐就把以上的體系打破了, 如下圖:

這樣說明在‘量化理論’ 中﹐‘神’ 這個‘量化概念’ 失去了修正‘量化邏輯’與‘直覺’的功能與價值﹐人類發展的理論所發現的大自然‘規律’ ﹐其實也沒有必要是‘神’的安排﹐因為它的結論不一定被我們的‘直覺’與‘經驗’所接受﹐它不一定反映出宇宙的和諧性。這結果背后的原因﹐總結來說就是‘量化理論’ 中的元素﹐都是人類自已創造出來的人為產物﹐所以存在著與大自然不協調的機會。因此﹐昔日歐洲人在‘量化思維’ 下認為﹐‘量化理論’ 能夠完全反映大自然的規律﹐這是因為數學或‘量化邏輯’ 與‘直覺’ 存在著來自終極‘量化概念’ —‘神’ 所賦予的絕對正確性。但是﹐‘非歐幾何’在不變的邏輯下﹐隻是代換了其中的一個公設﹐公設是一種不能証明的‘假設’ ﹐屬於‘邏輯量化點’ ﹐它的‘確定性’ 隻能來自直覺﹐一個違反直覺的假設﹐就能在應用相同邏輯的情況下﹐令到相同的理論得出完全違反直覺與常理的結論﹐可見‘神’ 在這一過程中沒有參與﹐因為‘神’ 由始至終沒有修正理論的結果﹐這說明對整個推理過程起作用的隻有‘量化概念’ ﹑‘量化邏輯’ 和‘邏輯量化點(假設)’ 而已﹐‘神’並沒有對推導過程起到任何的影響作用﹐從而沒有令結論回復到‘直覺’ 與‘常理’ 的水平。

‘量化思維’ 的特點﹐就是整個思維和行為方式以‘量化概念’ 為基礎﹐當其中一個‘量化概念’ 發生問題時﹐‘量化思維’ 也可以馬上轉移到其它的‘量化概念’上再開展理論。所以﹐既然‘神’ 這個‘量化概念’對理論模式沒有起實際作用﹐當時的歐洲人也就開始放棄昔日的觀點﹐不再認為以數學的方法發現宇宙的規律就是對‘神’的了解。因為隻要在正確的邏輯推導下得到的結論都是成立的﹐但可能完全違悖‘直覺’ ﹐這些結果與其它結論存在著不和諧和不統一性﹐而和諧 與統一性正是當初歐洲人把‘神’ 的概念引入到‘量化認知’ 模式中的原因﹐現在顯然違悖初衷了﹐所以‘神’ 的概念在這裡﹐就再沒有存在的必要性。

當時的歐洲人開始相信‘神’ 的概念與自然界的數學規律沒有關系﹐數學與邏輯隻是人類自已發明的一種探求自然真理的途徑﹐而在這套理論中用作判斷‘量化概念’ 與‘邏輯量化點’ 是否具有‘ 確定性’ 的‘直覺’ ﹐它的‘正確性’也與‘神’ 的存在無關。歐洲人開始意識到﹐‘直覺’ 的判斷應該直接來自人類大腦本身﹐因為大腦的生物結構也是一個空間物體﹐這令它先天具備了‘時間’ 與‘空間’ 的概念。因此﹐大腦在判斷‘先驗’ 知識之前﹐可以在大腦中檢驗后再作出判斷﹐這樣就提供了‘量化概念’ 與‘量化邏輯點’ 的‘確定性’, 如下圖:

‘非歐幾何學’ 所得出的結果不能被‘直覺’ 所檢驗﹐甚至出現與‘直覺’ 抵觸的現象﹐這與它在假設或結論中所描述的現象並不屬於大腦所處的平面三維空間﹐而是‘曲面’ 或‘收縮’ 的空間有關。通過對‘直覺’的重新認知﹐這也可以合理的解釋了這種‘非歐幾何學’現象。現在總算在放棄‘神’ 在思維模式中的地位后﹐把‘直覺’ 在‘量化思維’ 模式裡的重要地位保住了。

故此﹐當拿破倫看過法國數學家拉普拉斯(Pierre-Simon Laplace﹐1749—1827) 寄給他的一本著作后﹐回信時提到﹐‘在你這本關於研究宇宙規律的書中﹐為什麼從來沒有提到宇宙的創造者—‘神’呢﹖’﹐拉普拉斯給了他一個簡單而直接的回復﹐‘我覺得這個‘假設(指‘神’ 的存在) ’ 沒有必要。’