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第二篇﹕东西方思维的内容 [繁體版]

 ‘量化思维’ 的内容

 数学符号的发展

 从‘自然语言’到‘符号’﹕

在上一章﹐我们已经提及到思维的‘三大元素’ ﹐其中第三个元素就是‘表记方式’ 。人类在当初除了使用图画作表记信息之外﹐能够有效指示信息的表记方式就是‘语言’ 。语言是思维的工具﹐为了把大脑的思维过程记录下来﹐作为长期保留和远距离传播信息的需要﹐于是就产生了表记语言的文字。关于‘语言’ 和‘文字’ 如何成为大脑的思维工具﹐本书已经在‘导论’ 部份作过详细的说明。而在古希腊人从‘语言-文字’模式而产生‘量化思维’ 模式这一部份中﹐笔者也详细的介绍了绘画的几何元素 —直线和图() ﹐是如何成为另一种的‘表记方式’ ﹐而用作指示和记录几何概念 ﹐文字和数字则作为指示概念﹑定义和论述过程的工具。

        但是﹐当要表达的数量概念和关系发展到一定的复杂程度时﹐语言对表达数量关系就显得有点无能为力了。以下表格对比了一下古希腊时代的语言方式与现代数学符号﹐在表达相同数量关系上的差异﹕

 

古希腊时代的数学表达方式

现代的数学符号

公元前300﹐欧几里德‘几何原本’﹐第二卷

如果一条线段在中间随意分为两段﹐这条线段的平方就等于这两个分段各自的平方和再加上两个由这两个分段组成的长方形的面积。

(Euclid, Elements, II.4, 300B.C.)

(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab

公元前225﹐阿基米得(ArchimedesBC287-212

圆的面积等于以圆半经为一边﹐而另一边是圆的周长的直角三角形面积。

(Archimedes, Measurement of a Circle, 225B.C.)

A=1/2(2pr)·r=pr 2

公元前220﹐阿基米得

圆球体的表面积等于球体中最大圆的面积的4倍。

 (Archimedes, On the Sphere and the Cylinder, 220B.C.)

S = 4pr 2

就以第二个例子来看﹐阿基米得以语言方式表达‘圆’ 面积的这个概念时﹐引用了三角形的面积来定义‘圆面积’的公式﹐这显然绕了一个大弯。如果我们用右边的数学符号表达的话﹐我们就可以直接发现在数量关系上﹐阿基米得对‘圆面积’ 的定义并非是数量关系上的最简形式﹐它可进一步化简为以p作表达的数学关系式(当时古希腊人已有‘p 的概念﹐并计算出近似值)。但是﹐因为语言并不能把其中的数量概念以符号的形式指示出来﹐因此大脑在没有辅助工具的情况下﹐也就不能把独立的数量概念从面前一堆的‘信息群(文字叙述的信息) ’中抽取出来。因为﹐符号的独立外形具备了‘形素’ 指示信息的功能﹐这一点令符号比纯语言文字在信息处理上具有更强的功能性。它的功能在于能够有效的提示大脑﹐在这个‘形素’ 之内所指示的概念是独立独立的﹐而‘形素’ 之间的分界也指示出 概念之间是分

离和相对独立的(如上)。相反﹐文字表达式却是由一部份的‘字母’ 和‘文字’ 组成﹐在这堆字母或文字组合里面﹐在外形上完全没有明确界定出概念之间的分界和关系﹐一切就需要由语意中分析﹐这样就造成在表达关系上的暧昧性 ﹐大脑也需要花较多的精力在理解语意而不能集中在分析个中的概念或逻辑关系上。

        基于以上的理由﹐古希腊人也曾作过使用数学符号的尝试﹐希望可以通过简化和精炼的符号有效表示数量关系。但是要创造一套数学符号系统﹐也就是表记数学的语言﹐其中的难度就好像当初创制文字一样。因为出现语言后才有文字的产生﹐所以很自然的出现了以口语语言作为文字蓝本的情况﹐这样就产生了古希腊的字母﹐以及世界各地的‘表音’文字。现在﹐在文字出现之后﹐古希腊人开始觉得有制定另一种文字—‘数学符号’的需要﹐而且‘数学符号’ 与‘文字’一样都具有表记用途。因此﹐这次他们就以‘文字’ 为参考蓝本来创制‘数学符号’ ﹐这就是发展‘数学符号’的第一步。在此之后的人类﹐也在这方面不断的努力。直至十七世纪中﹐今天我们使用的‘数学符号’ 才告正式定型﹐而它的出现与使用﹐完全释放了人类大脑中的信息处理能力﹐人类文明的发展才可能走上现在这一条一往无前的高速公路 。

现在﹐就让我们一起来看一下最早的数学符号。在后古希腊时代(公元三世纪)﹐如果要表达这样一个数学关系﹕x3+13 x2-5 x+2数学家Diophantus是这样表达的﹕

KΥαΔΥιγζεM0β

符号说明﹕

KΥ﹕表示一个‘未知数’ 的‘立方(三次方) KΥ这个符号来自古希腊单词‘立方’ KΥΒΟΣ’的头两个字母。

α﹕古希腊记数法中表示‘1

ΔΥ﹕表示一个‘未知数’ 的‘平方(二次方) ΔΥ这个符号来自古希腊单词‘()次方’ ΔΥΝΑΜΙΣ’的头两个字母。

ιγ: 表示数字‘13

  等于现代数学中的‘减

ζ﹕表示‘未知数’ ﹐等于我们现在用的‘x

ε﹕表示数字‘5’。

M0﹕表示‘加’ 的意思﹐而且还指示出在这个符号后的数字是一个独立的数字﹐与这个数字前的‘未知数’ 没有数量上的修饰关系﹐而是分隔开的。

 

如果我们使用前一章解释‘屈折语’ 语法的方式﹐来对其中的内容作进一步分析﹐就是﹕

  

从以上的分析图﹐我们可以清晰的看到在数学符号的表达模式中﹐的确参考了文字的表达方式。在上面的关系式中﹐未知数的概念就如同古希腊语一样﹐带上了‘屈折性’ 。未知数的外形随着它在独立形式﹑平方和立方的概念而变化﹐如下﹕

ζ

未知数的‘独立’形式= x 1= x

ΔΥ

未知数的‘平方’形式= x 2

KΥ

未知数的‘立方’形式= x 3

使用现代的表达方式﹐我们就知道其实这三个数学符号中都包含了两人个数量概念和一个数量关系(次方)﹐其中共同的‘未知数’ 概念是可以抽离出来而成为一个独立的概念﹐现在我们使用x来表示这个共同的未知数。除此﹐还有另一个数量是这个未知数自乘的次数﹐平方是‘2次’ ﹐立方是‘3次’ ﹐‘1次’。如果﹐能够把这个次方的数量以符号的方式独立指示﹐也就是把其中的概念也完全抽离出来﹐这样原本只用作指示平方或立方关系的数量﹐还可以表示高次的次方关系﹐4次﹑5次也可以(但是古希腊人出于几何观点﹐不承认高次方的数理意义﹐因为它在物质世界中找不到这些高次方概念的几何意义) 。甚至这个原本是‘整数’ 的‘次方’ 数量﹐因为现在已经用独立的符号指示﹐成为完全独立的一个概念﹐它就像添上了‘翅膀’ 一样可以天高任鸟飞﹐于是这个次方也可能成为零﹑负数﹑分数或用作运算用途﹐如下﹕

可见﹐如果没有把‘幂(次方) ’ 的概念抽取出来﹐而是仍然像屈折语言的‘音/意素’ 一样‘屈折’ 依附在未知数这一概念上﹐以上‘幂’ 的数量变化也不可能在今天的数学理论中出现。可想而知﹐数学的发展也就是一种‘量化概念’ 的不断分解过程﹐直至找到一个真正不可再分解的概念为止﹐而没有适当的‘符号’ 作为概念的指示形式﹐这样不仅禁个了抽象的概念﹐同时也令数学理论裹足不前。

        以下的部份﹐就让我们一起来看一下﹐从十五世纪开始直至到标准化的数学符号正式定型为止﹐在这一段前‘数学符号’ 时期中﹐欧洲人在数学符号发展道路上所作出过的尝试吧。

 Nicolas Chuquet (~-1500)

1484年﹕

=R)2. 18 .  .R)2150   

(注﹕:- ’ 减号 :+’ 加号)

6x=.6. 1

12x3=.12. 3

4x0=.4. 0

7x-2=.7. 2.m

12x=-2表示为﹕ .12. 1egauxa  .2. 0

4X2-3X =10表示为42 31 egault 100

 1489年﹐ John Widman﹐‘+ -’号首先出现在他印行的刊物上。

 要表达4 x 2-3 x =10﹐这个数量关系﹐可以有如下的方式﹕

Vander Hoecke

1514

4 Se + 3  Pridit is ghelijc 10

F.Ghaligai

1521

4 e 3co - 10 numeri

Jean Buteo

1559

4 p 3 p [ 10

R.Bombelli

1572

p equals á 10

Simon Stevin

1585

4 + 3  egales 10

1590年﹐Francois Viete (法国)

元音{A E I }表示‘未知数’

辅音{B C D E   } 表示‘数量’

3BA2-DA+ A3=Z可以表示为﹕B3 in A quad – D plano in A +A cubo aequator Z

(注﹕in 表示‘乘号’ ﹑quad﹕平方﹑plano﹕独立形式  cubo﹕立方﹑aequator﹕等于)

在那个时期开始使用方括号和圆括号。

DR-DE=A2 ﹐可以表示为﹕D in R - D in E aequabitur A quad

(注﹕aequabitur﹕等于)

4 x 2-3 x =10 可以表示为﹕4Q + 3N  aequatus  sit 10

(Q﹕未知数的平方﹑N﹕未知数﹑aequatus  sit﹕等于)

 要表达4 x 2-3 x =10﹐这个数量关系﹐在十七世纪时期有如下的方式﹕

Thomas Harriot

1631

4aa + 3a === 10

René Descartes

1637

4ZZ + 3Z 10

John Wallis

1693

4XX + 3X = 10

René Descartes (1596-1650)发明使用次方符号x2, x3

首先以xyz这些最后的字母表示‘未知数’

 Robert Recorde (1510-1558) 发明‘=’ 号。

 欧拉(Leonhard Euler) (1707-1783)

发明以下符号﹕

∑π e ex   x sin x cos x f(x)

ABC表示角度

abc表示三角形的边

i  表示√-1

        从上的发展过程﹐我们发现一个有趣的现象就是﹐早期的数学符号表达式中往往留有很多语言成份﹐数学家们会习惯用拉丁语‘quad’ 表示‘平方’ ﹐‘cubo’ 表示立方﹐‘aequator egaux a aequatus   sit  等文字表示‘等于’ ﹐还有使用‘和‘’ 这两个带有单词字头的符号﹐分别表示‘加号’ 和‘减号’ 。这显然说明了数学符号是根据语言文字的表达方式来演化和形成的﹐这正是数学符号演进过程中的最早阶段。

如果﹐我们再考察一下西方屈折语言的发展史﹐我们就可以发现在十五至十八世纪这一段时期﹐正好是语言文字简化的发展时期。在英国﹐英语也走出了‘中古英语’ 阶段而开始走进‘现代英语’时期。在欧洲的语言发展也相同﹐只是在演进的程度上﹐因国家的具体情况而有所不一。在这一段语言简化时期中﹐名语和形容词的语格大量脱落﹐语格在英语﹑法语和意大利语中完全消失﹐德语也把语格的变化减到只有4种﹐以及这种语格变化主要发生在名词前的冠词中﹐这样‘主谓宾’ 的语序也就正式固定下来﹐动词的变化也在减少之中﹐各种词类虽然仍保留着一定的词尾变化﹐但也趋向标准化。以英语为例﹐单词中的‘形素’ 成份也走向标准化而具备了更高的组合能力﹐标准化的形素可以成为‘前后缀’添加到单语中﹐这样就可以增加单语的语意或修改其语法意义。

总的来说是﹐单词中的语格大量消失﹐令到本来由语格携带的语意和语法信息﹐现在被释放出来﹐转移成为增加使用‘介词’ 的数量。于是﹐单词中的概念信息就更加明显﹐单词在句子中的数量也随之而增加﹐从而使每一个单词所携带的信息相对减少﹐‘符素性’得到提高﹐语序因此固定为最合符逻辑和可以简化表达形式的‘主谓宾’ 语序。语言文字作为大脑的思维工具﹐这种工具在表达形式上(语意语法信息没有因为简化而掉失)的简化过程﹐无疑启发了‘数学符号’ 的使用和发展。昔日古希腊人因为语言中高度的‘屈折性’ 而产生出带有‘屈折性’ 的数学表达形式﹐这个时期的欧洲人可以利用语言文字简化的趋势而创造出更接近今天我们使用的‘数学符号’ ﹐语言文字中‘符素性’ 的提高正好带动了正确使用符号的方式。读者可能会怀疑﹐难到语言文字中的‘屈折性’真的具有这么大的威力﹐可以阻碍大脑正确认识数量概念吗﹖答案是肯定的﹐读者只要在本书参考有关‘十进制’ 记数法的章节﹐我们就可以明白到西方的屈折语文和汉语文在语言文字上的差异﹐导致前者完全没有发展出‘十进制’ 记数法﹐而后者 却可能比前者在使用‘十进制’ 方面领先两千年﹐其中的原因只能归于语言文字作为思维工具﹐对大脑所造成的深入影响。

因此﹐数学符号的发展也只能够从语言文字的简化时期开始﹐也只能发生在这个时期的欧洲﹐在当时的希腊地区所使用的语言仍然像古希腊语一样﹐保留着高度的‘屈折性’ ﹐没有语言文字简化过程的带动﹐大脑也就产生不出灵感来发展有效的数学符号。希腊语言要等到希腊脱离奥斯曼帝国而独立后﹐才开始语言改革运动﹐但这已是十九世纪中的事情了。没有数学符号作工具的帮助﹐对大脑来说﹐就等于没有了‘抽象’ 的概念。从数学符号的发展﹐或者可以解释为甚么古希腊能够创造令整个西方文化赖以为基础的学术文化﹐但是到后来﹐ 却没能像西方人那样创造出现代文明。

        西方文化的基础来自古希腊文化﹐但是把古希腊文化传播到欧洲地区的却是阿拉伯人 。阿拉伯人在得到大量古希腊学术文献和资料后﹐也曾经作过大规模的研究﹐在数学如代数方面也作出过一定的学术贡献。所以﹐现今代数的命名‘algebra’ ﹐就是来自阿拉伯人给代数的名称﹐阿拉伯语‘Al-jabr’只是一个简称﹐全称表示‘重新组合的科学’ ﹐而Al-jabr 表示其中‘转换’的意思。阿拉伯人基本在古希腊人的基础上做了一些添加性的研究﹐但是没有实质性的学术突破﹐更没有发展出欧洲人后来发展出的各种数学分支和数学符号﹐阿拉伯与古希腊人一样也只能用语言文字来斜述运算过程。这又是为甚么呢﹖为甚么欧洲人能﹐而阿拉伯人不能呢﹖要解开这个疑问﹐就要从‘思维三大元素’ 入手了。我们可以分两个方面来解释这个问题﹕

第一﹕阿拉伯人没有‘量化思维’ 模式﹐也就是缺乏了思维元素中的前两个元素﹕‘量化概念’与‘量化逻辑’。

第二﹕阿拉伯人没有发展出数学符号表记法﹐在第三个思维元素方面﹐仍然是使用古希腊人的几何元素﹑数字和语言文字作为表记工具。阿拉伯人没能在欧洲人之前发展出数学符号﹐这与他们使用的语言有直接的关系。

        在有关‘量化思维’ 的章节中﹐我们了解到‘量化思维’ 的产生是古希腊人对语言认知后创造出‘完全表音’字母的结果﹐也只有在这种客观条件下﹐才能形成‘量化思维’ 模式。但是在阿拉伯的语言文字里面就没有这些因素了。因为阿拉伯语不同于古希腊的‘屈折语’ ﹐在单词中的‘辅音’ 部份往往是固定不变的。因此﹐他们就选择了只表记‘辅音’ 字母的方式来记录语言﹐而古希腊语中丰富的‘音素’成份具有‘意素’的指示性﹐因此必须创制一种完全表记音素的字母系统﹐这就是‘完全表音’字母产生的语言背景。在认知语言和创造字母系统的过程中﹐古希腊人掌握了分解系统的认知方法﹐把认知目标分解到最小的单位﹐然后再定义表记﹐这就是希腊字母形成的方式。但是﹐阿拉伯人没有简化字母系统﹐反而是把字母符号分为四种形式—前中后和独立型﹐以四种形式来表记同一个音素﹐令到字母数量没有减到最小反而增加了﹐而且这些字母也不是完全反映语言中的所有音素﹐阿拉伯字母只表记‘辅音’ 而没有‘元音’ ﹐所以‘量化概念’ 就不能在这种情况下萌芽了。再者﹐阿拉伯单词因为只表记辅音字母﹐所以在同一种写法下﹐存在着多种的词意﹐也就是一个文字单词指示多个概念﹐当要决定哪一个概念才是文章所表达的意思时﹐往往需要通过上文下理来判断。但是在古希腊语中﹐必须在每一个单词音素都完全吻合的情况下﹐才能够正确读取概念﹐这就是‘演释法’ 的原型﹐也就是‘量化逻辑’ 的开始。如下﹐比较一下两种语言(英语作例子)在单词方面所提供的‘演绎性’ ﹕

显然﹐阿拉伯文字不存在如‘屈折语’ 一般的‘演绎性’。在缺乏形成‘量化概念’ 与‘量化逻辑’ 的客观条件下﹐‘量化思维’ 也就不可能在阿拉伯人的思维模式中产生了。

        因为没有‘量化思维’ 模式﹐所以符号所指示的概念也就不可能得到‘量化分解’ ﹐直至成为最基本的概念单位。例如‘加’ 的概念﹐它只表示两个量相加﹐再没有其它多余的语意﹐而且这个概念也不可再细分﹐显然这是最基本的概念﹐可视之为‘量化概念’(或‘逻辑量化点’) 。‘量化概念’ 出现后﹐‘量化思维’ 就以一个符号来‘定义’表记这个概念﹐如同字母表记‘音素’ 一样。可见﹐每一个数学符号在产生之前﹐都需要经过这样一个‘量化分解’ 和‘定义表记’的过程﹐如下﹕

所以﹐数学符号的产生就与‘量化思维’ 模式息息相关。

      同时简炼性对作为思维工具的符号来说﹐也具有特别重要的意义。但是﹐阿拉伯语的语序是‘谓主宾’ 的固定形式﹐这一种的语序不仅与逻辑的顺序不符合﹐而且谓语没有起到分隔主语与宾语的作用﹐而‘主语’ ‘宾语’ 因为属于同语类的名词﹐如果没有谓语动词作分隔而放在一起的话﹐这就需要额外的符号把‘主语’和‘宾语’分隔开来。这种情况发生在数学符号上﹐这样就有需要添加多余的符号来提供‘分隔’ 功能。试想像﹕‘1+2=3’这个数学表达式﹐这是‘主谓宾’ 语序﹐主语是1﹐谓语动词是+﹐宾语是2﹐这部份是一个子句﹐然后=也是另一个谓语﹐3是另一个宾语。如果首先把子句以‘谓主宾’ 式放置的话﹐就成为﹕+ 1 2﹐这样1 2这两个概念就有可能混淆﹐如果使用字母代表﹐也是+ X Y XY放在一起也会混淆﹐如果整个数式以完整的方式出现﹐就是= + 1 2 3﹐这样就更加混乱了。于是﹐只有通过添加至少1种额外的符号才能够把意思表达得完美准确﹕= + 1 ) 2 ) 3。假如添加了只用作表达语法意义的符号﹐这样就完全违悖了符号的简炼性。我们可以回想一下﹐在现今的数学符号中﹐没有一个是用作纯粹指示语法而没有指示数理关系的符号(()’ ﹑‘[]’ 这些符号表示首先执行的运算关系﹐不算与语法有关系) 。符号的使用只有减省的方式而非增加﹐例如‘乘号’ 在数字与字母之间可以省去﹐或以简单的‘’来代替较为复杂的‘×’﹐这都是为了书写的方便。古印度语也是使用非‘主谓宾’ 语序的﹐那是‘主宾谓’ 的固定语序﹐这种情况与‘谓主宾’ 语序一样﹐没有通过‘谓语’ 把‘主宾’ 语作分隔﹐同样造成了开发符号系统的障碍。可见﹐语序对数学符号的表达起到关键性的作用﹐欧洲人要到了十六世纪开始﹐才在语格脱落﹐但同时也要保留语意和语法意义的要求下把语序固定下来﹐而固定的‘主谓宾’ 语序为发展数学符号提供到其中一个重要条件。

        数学符号的发展参考自语言模式﹐我们可以想象到﹐人类第一个想表达的数学关系式﹐很有可能是上面出现的加法关系﹐因为加法关系是最简单直接的数量关系。如果在表达这个关系时发现﹐要表达这样一个数量关系需要涉及到不少的符号﹐而且在表达出来后﹐看上去也并非十分的清晰﹐对比以纯语言表达的方式没有太大的分别。在这种情况下﹐人类就很有可能停步不前﹐从此放弃对数学符号的进一步探索﹐而回到继续使用语言文字的形式。这种情况很有可能曾经发生在阿拉伯人和印度人身上﹐导致了数学符号发展的停滞不前。以下通过表格的形式﹐以各种思维元素为标准﹐比较英语﹑古希腊语﹑阿拉伯语与汉语具备发展数学符号的客观条件﹕

 

英语

古希腊语

阿拉伯语

汉语

量化思维:

量化概念+量化逻辑

表记方式

 

使用字母符号

无。

古代的中国数学家在代数运算中也使用一定数量的汉字﹐作指示数学概念的用途﹐但它们并非像西方的字母符号一样通过定义的过程﹐代换了未知数的数值﹐而字母也可以像数字一样参与运算。在中国数学中﹐也使用如‘元’ 字作为指示‘未知数’ 的存在﹐‘太’ 指示‘常数项’ 的位置﹐也使用‘天﹑地﹑人﹑物’ 表示四个不同的未知数﹐XYZW等﹐但它们只起到指示表记其存在性的作用﹐没有代换任何数量而加入运算的行列。这一点与现代数学的符号功能不一样。

语言文字﹕

‘符素性’ 程度 (单词中概念的单一程度)

最高

固定的‘主谓宾’语序‘

 

最后﹐只有十六世纪后的欧洲人能够满足以上四项的要求而突围而出﹐发展出现代数学符号。

 

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