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從語言文字看東西方思維 - 再從'大思維'到'大戰略'

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第二篇﹕東西方思維的內容 [簡體版]

 ‘量化思維’ 的內容

 數學符號的發展

 從‘自然語言’到‘符號’﹕

在上一章﹐我們已經提及到思維的‘三大元素’ ﹐其中第三個元素就是‘表記方式’ 。人類在當初除了使用圖畫作表記資訊之外﹐能夠有效指示資訊的表記方式就是‘語言’ 。語言是思維的工具﹐為了把大腦的思維過程記錄下來﹐作為長期保留和遠距離傳播資訊的需要﹐於是就產生了表記語言的文字。關於‘語言’ 和‘文字’ 如何成為大腦的思維工具﹐本書已經在‘導論’ 部份作過詳細的說明。而在古希臘人從‘語言-文字’模式而產生‘量化思維’ 模式這一部份中﹐筆者也詳細的介紹了繪畫的幾何元素 —直線和圖() ﹐是如何成為另一種的‘表記方式’ ﹐而用作指示和記錄幾何概念 ﹐文字和數位則作為指示概念﹑定義和論述過程的工具。

        但是﹐當要表達的數量概念和關係發展到一定的複雜程度時﹐語言對表達數量關係就顯得有點無能為力了。以下表格對比了一下古希臘時代的語言方式與現代數學符號﹐在表達相同數量關係上的差異﹕

 

古希臘時代的數學表達方式

現代的數學符號

西元前300﹐歐幾裏德‘幾何原本’﹐第二卷

如果一條線段在中間隨意分為兩段﹐這條線段的平方就等於這兩個分段各自的平方和再加上兩個由這兩個分段組成的長方形的面積。

(Euclid, Elements, II.4, 300B.C.)

(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab

西元前225﹐阿基米德(ArchimedesBC287-212

圓的面積等於以圓半經為一邊﹐而另一邊是圓的周長的直角三角形面積。

(Archimedes, Measurement of a Circle, 225B.C.)

A=1/2(2pr)·r=pr 2

西元前220﹐阿基米德

圓球體的表面積等於球體中最大圓的面積的4倍。

 (Archimedes, On the Sphere and the Cylinder, 220B.C.)

S = 4pr 2

就以第二個例子來看﹐阿基米德以語言方式表達‘圓’ 面積的這個概念時﹐引用了三角形的面積來定義‘圓面積’的公式﹐這顯然繞了一個大彎。如果我們用右邊的數學符號表達的話﹐我們就可以直接發現在數量關係上﹐阿基米德對‘圓面積’ 的定義並非是數量關係上的最簡形式﹐它可進一步化簡為以p作表達的數學關係式(當時古希臘人已有‘p 的概念﹐並計算出近似值)。但是﹐因為語言並不能把其中的數量概念以符號的形式指示出來﹐因此大腦在沒有輔助工具的情況下﹐也就不能把獨立的數量概念從面前一堆的‘資訊群(文字敘述的資訊) ’中抽取出來。因為﹐符號的獨立外形具備了‘形素’ 指示資訊的功能﹐這一點令符號比純語言文字在資訊處理上具有更強的功能性。它的功能在於能夠有效的提示大腦﹐在這個‘形素’ 之內所指示的概念是獨立獨立的﹐而‘形素’ 之間的分界也指示出 概念之間是分

離和相對獨立的(如上)。相反﹐文字運算式卻是由一部份的‘字母’ 和‘文字’ 組成﹐在這堆字母或文字組合裏面﹐在外形上完全沒有明確界定出概念之間的分界和關係﹐一切就需要由語意中分析﹐這樣就造成在表達關係上的曖昧性 ﹐大腦也需要花較多的精力在理解語意而不能集中在分析個中的概念或邏輯關係上。

        基於以上的理由﹐古希臘人也曾作過使用數學符號的嘗試﹐希望可以通過簡化和精煉的符號有效表示數量關係。但是要創造一套數學符號系統﹐也就是表記數學的語言﹐其中的難度就好像當初創制文字一樣。因為出現語言後才有文字的產生﹐所以很自然的出現了以口語語言作為文字藍本的情況﹐這樣就產生了古希臘的字母﹐以及世界各地的‘表音’文字。現在﹐在文字出現之後﹐古希臘人開始覺得有制定另一種文字—‘數學符號’的需要﹐而且‘數學符號’ 與‘文字’一樣都具有表記用途。因此﹐這次他們就以‘文字’ 為參考藍本來創制‘數學符號’ ﹐這就是發展‘數學符號’的第一步。在此之後的人類﹐也在這方面不斷的努力。直至十七世紀中﹐今天我們使用的‘數學符號’ 才告正式定型﹐而它的出現與使用﹐完全釋放了人類大腦中的資訊處理能力﹐人類文明的發展才可能走上現在這一條一往無前的高速公路 。

現在﹐就讓我們一起來看一下最早的數學符號。在後古希臘時代(西元三世紀)﹐如果要表達這樣一個數學關係﹕x3+13 x2-5 x+2數學家Diophantus是這樣表達的﹕

KΥαΔΥιγζεM0β

符號說明﹕

KΥ﹕表示一個‘未知數’ 的‘立方(三次方) KΥ這個符號來自古希臘單詞‘立方’ KΥΒΟΣ’的頭兩個字母。

α﹕古希臘記數法中表示‘1

ΔΥ﹕表示一個‘未知數’ 的‘平方(二次方) ΔΥ這個符號來自古希臘單詞‘()次方’ ΔΥΝΑΜΙΣ’的頭兩個字母。

ιγ: 表示數字‘13

  等於現代數學中的‘減

ζ﹕表示‘未知數’ ﹐等於我們現在用的‘x

ε﹕表示數字‘5’。

M0﹕表示‘加’ 的意思﹐而且還指示出在這個符號後的數位是一個獨立的數位﹐與這個數位前的‘未知數’ 沒有數量上的修飾關係﹐而是分隔開的。

 

如果我們使用前一章解釋‘屈折語’ 語法的方式﹐來對其中的內容作進一步分析﹐就是﹕

  

從以上的分析圖﹐我們可以清晰的看到在數學符號的表達模式中﹐的確參考了文字的表達方式。在上面的關係式中﹐未知數的概念就如同古希臘語一樣﹐帶上了‘屈折性’ 。未知數的外形隨著它在獨立形式﹑平方和立方的概念而變化﹐如下﹕

ζ

未知數的‘獨立’形式= x 1= x

ΔΥ

未知數的‘平方’形式= x 2

KΥ

未知數的‘立方’形式= x 3

使用現代的表達方式﹐我們就知道其實這三個數學符號中都包含了兩人個數量概念和一個數量關係(次方)﹐其中共同的‘未知數’ 概念是可以抽離出來而成為一個獨立的概念﹐現在我們使用x來表示這個共同的未知數。除此﹐還有另一個數量是這個未知數自乘的次數﹐平方是‘2次’ ﹐立方是‘3次’ ﹐‘1次’。如果﹐能夠把這個次方的數量以符號的方式獨立指示﹐也就是把其中的概念也完全抽離出來﹐這樣原本只用作指示平方或立方關係的數量﹐還可以表示高次的次方關係﹐4次﹑5次也可以(但是古希臘人出於幾何觀點﹐不承認高次方的數理意義﹐因為它在物質世界中找不到這些高次方概念的幾何意義) 。甚至這個原本是‘整數’ 的‘次方’ 數量﹐因為現在已經用獨立的符號指示﹐成為完全獨立的一個概念﹐它就像添上了‘翅膀’ 一樣可以天高任鳥飛﹐於是這個次方也可能成為零﹑負數﹑分數或用作運算用途﹐如下﹕

可見﹐如果沒有把‘冪(次方) ’ 的概念抽取出來﹐而是仍然像屈折語言的‘音/意素’ 一樣‘屈折’ 依附在未知數這一概念上﹐以上‘冪’ 的數量變化也不可能在今天的數學理論中出現。可想而知﹐數學的發展也就是一種‘量化概念’ 的不斷分解過程﹐直至找到一個真正不可再分解的概念為止﹐而沒有適當的‘符號’ 作為概念的指示形式﹐這樣不僅禁個了抽象的概念﹐同時也令數學理論裹足不前。

        以下的部份﹐就讓我們一起來看一下﹐從十五世紀開始直至到標準化的數學符號正式定型為止﹐在這一段前‘數學符號’ 時期中﹐歐洲人在數學符號發展道路上所作出過的嘗試吧。

 Nicolas Chuquet (~-1500)

1484年﹕

=R)2. 18 .  .R)2150   

(注﹕:- ’ 減號 :+’ 加號)

6x=.6. 1

12x3=.12. 3

4x0=.4. 0

7x-2=.7. 2.m

12x=-2表示為﹕ .12. 1egauxa  .2. 0

4X2-3X =10表示為42 31 egault 100

 1489年﹐ John Widman﹐‘+ -’號首先出現在他印行的刊物上。

 要表達4 x 2-3 x =10﹐這個數量關係﹐可以有如下的方式﹕

Vander Hoecke

1514

4 Se + 3  Pridit is ghelijc 10

F.Ghaligai

1521

4 e 3co - 10 numeri

Jean Buteo

1559

4 p 3 p [ 10

R.Bombelli

1572

p equals a 10

Simon Stevin

1585

4 + 3  egales 10

1590年﹐Francois Viete (法國)

母音{A E I }表示‘未知數’

輔音{B C D E   } 表示‘數量’

3BA2-DA+ A3=Z可以表示為﹕B3 in A quad – D plano in A +A cubo aequator Z

(注﹕in 表示‘乘號’ ﹑quad﹕平方﹑plano﹕獨立形式  cubo﹕立方﹑aequator﹕等於)

在那個時期開始使用方括號和圓括號。

DR-DE=A2 ﹐可以表示為﹕D in R - D in E aequabitur A quad

(注﹕aequabitur﹕等於)

4 x 2-3 x =10 可以表示為﹕4Q + 3N  aequatus  sit 10

(Q﹕未知數的平方﹑N﹕未知數﹑aequatus  sit﹕等於)

 要表達4 x 2-3 x =10﹐這個數量關係﹐在十七世紀時期有如下的方式﹕

Thomas Harriot

1631

4aa + 3a === 10

Rene Descartes

1637

4ZZ + 3Z 10

John Wallis

1693

4XX + 3X = 10

Rene Descartes (1596-1650)發明使用次方符號x2, x3

首先以xyz這些最後的字母表示‘未知數’

 Robert Recorde (1510-1558) 發明‘=’ 號。

 歐拉(Leonhard Euler) (1707-1783)

發明以下符號﹕

e ex   x sin x cos x f(x)

ABC表示角度

abc表示三角形的邊

i  表示√-1

        從上的發展過程﹐我們發現一個有趣的現象就是﹐早期的數學符號運算式中往往留有很多語言成份﹐數學家們會習慣用拉丁語‘quad’ 表示‘平方’ ﹐‘cubo’ 表示立方﹐‘aequator egaux a aequatus   sit  等文字表示‘等於’ ﹐還有使用‘和‘’ 這兩個帶有單詞字頭的符號﹐分別表示‘加號’ 和‘減號’ 。這顯然說明瞭數學符號是根據語言文字的表達方式來演化和形成的﹐這正是數學符號演進過程中的最早階段。

如果﹐我們再考察一下西方屈折語言的發展史﹐我們就可以發現在十五至十八世紀這一段時期﹐正好是語言文字簡化的發展時期。在英國﹐英語也走出了‘中古英語’ 階段而開始走進‘現代英語’時期。在歐洲的語言發展也相同﹐只是在演進的程度上﹐因國家的具體情況而有所不一。在這一段語言簡化時期中﹐名語和形容詞的語格大量脫落﹐語格在英語﹑法語和義大利語中完全消失﹐德語也把語格的變化減到只有4種﹐以及這種語格變化主要發生在名詞前的冠詞中﹐這樣‘主謂賓’ 的語序也就正式固定下來﹐動詞的變化也在減少之中﹐各種詞類雖然仍保留著一定的詞尾變化﹐但也趨向標準化。以英語為例﹐單詞中的‘形素’ 成份也走向標準化而具備了更高的組合能力﹐標準化的形素可以成為‘前後綴’添加到單語中﹐這樣就可以增加單語的語意或修改其語法意義。

總的來說是﹐單詞中的語格大量消失﹐令到本來由語格攜帶的語意和語法資訊﹐現在被釋放出來﹐轉移成為增加使用‘介詞’ 的數量。於是﹐單詞中的概念資訊就更加明顯﹐單詞在句子中的數量也隨之而增加﹐從而使每一個單詞所攜帶的資訊相對減少﹐‘符素性’得到提高﹐語序因此固定為最合符邏輯和可以簡化表達形式的‘主謂賓’ 語序。語言文字作為大腦的思維工具﹐這種工具在表達形式上(語意語法資訊沒有因為簡化而掉失)的簡化過程﹐無疑啟發了‘數學符號’ 的使用和發展。昔日古希臘人因為語言中高度的‘屈折性’ 而產生出帶有‘屈折性’ 的數學表達形式﹐這個時期的歐洲人可以利用語言文字簡化的趨勢而創造出更接近今天我們使用的‘數學符號’ ﹐語言文字中‘符素性’ 的提高正好帶動了正確使用符號的方式。讀者可能會懷疑﹐難到語言文字中的‘屈折性’真的具有這麼大的威力﹐可以阻礙大腦正確認識數量概念嗎﹖答案是肯定的﹐讀者只要在本書參考有關‘十進位’ 記數法的章節﹐我們就可以明白到西方的屈折語文和漢語文在語言文字上的差異﹐導致前者完全沒有發展出‘十進位’ 記數法﹐而後者 卻可能比前者在使用‘十進位’ 方面領先兩千年﹐其中的原因只能歸於語言文字作為思維工具﹐對大腦所造成的深入影響。

因此﹐數學符號的發展也只能夠從語言文字的簡化時期開始﹐也只能發生在這個時期的歐洲﹐在當時的希臘地區所使用的語言仍然像古希臘語一樣﹐保留著高度的‘屈折性’ ﹐沒有語言文字簡化過程的帶動﹐大腦也就產生不出靈感來發展有效的數學符號。希臘語言要等到希臘脫離奧斯曼帝國而獨立後﹐才開始語言改革運動﹐但這已是十九世紀中的事情了。沒有數學符號作工具的幫助﹐對大腦來說﹐就等於沒有了‘抽象’ 的概念。從數學符號的發展﹐或者可以解釋為甚麼古希臘能夠創造令整個西方文化賴以為基礎的學術文化﹐但是到後來﹐ 卻沒能像西方人那樣創造出現代文明。

        西方文化的基礎來自古希臘文化﹐但是把古希臘文化傳播到歐洲地區的卻是阿拉伯人 。阿拉伯人在得到大量古希臘學術文獻和資料後﹐也曾經作過大規模的研究﹐在數學如代數方面也作出過一定的學術貢獻。所以﹐現今代數的命名‘algebra’ ﹐就是來自阿拉伯人給代數的名稱﹐阿拉伯語‘Al-jabr’只是一個簡稱﹐全稱表示‘重新組合的科學’ ﹐而Al-jabr 表示其中‘轉換’的意思。阿拉伯人基本在古希臘人的基礎上做了一些添加性的研究﹐但是沒有實質性的學術突破﹐更沒有發展出歐洲人後來發展出的各種數學分支和數學符號﹐阿拉伯與古希臘人一樣也只能用語言文字來斜述運算過程。這又是為甚麼呢﹖為甚麼歐洲人能﹐而阿拉伯人不能呢﹖要解開這個疑問﹐就要從‘思維三大元素’ 入手了。我們可以分兩個方面來解釋這個問題﹕

第一﹕阿拉伯人沒有‘量化思維’ 模式﹐也就是缺乏了思維元素中的前兩個元素﹕‘量化概念’與‘量化邏輯’。

第二﹕阿拉伯人沒有發展出數學符號表記法﹐在第三個思維元素方面﹐仍然是使用古希臘人的幾何元素﹑數位和語言文字作為表記工具。阿拉伯人沒能在歐洲人之前發展出數學符號﹐這與他們使用的語言有直接的關係。

        在有關‘量化思維’ 的章節中﹐我們瞭解到‘量化思維’ 的產生是古希臘人對語言認知後創造出‘完全表音’字母的結果﹐也只有在這種客觀條件下﹐才能形成‘量化思維’ 模式。但是在阿拉伯的語言文字裏面就沒有這些因素了。因為阿拉伯語不同于古希臘的‘屈折語’ ﹐在單詞中的‘輔音’ 部份往往是固定不變的。因此﹐他們就選擇了只表記‘輔音’ 字母的方式來記錄語言﹐而古希臘語中豐富的‘音素’成份具有‘意素’的指示性﹐因此必須創制一種完全表記音素的字母系統﹐這就是‘完全表音’字母產生的語言背景。在認知語言和創造字母系統的過程中﹐古希臘人掌握了分解系統的認知方法﹐把認知目標分解到最小的單位﹐然後再定義表記﹐這就是希臘字母形成的方式。但是﹐阿拉伯人沒有簡化字母系統﹐反而是把字母符號分為四種形式—前中後和獨立型﹐以四種形式來表記同一個音素﹐令到字母數量沒有減到最小反而增加了﹐而且這些字母也不是完全反映語言中的所有音素﹐阿拉伯字母只表記‘輔音’ 而沒有‘母音’ ﹐所以‘量化概念’ 就不能在這種情況下萌芽了。再者﹐阿拉伯單詞因為只表記輔音字母﹐所以在同一種寫法下﹐存在著多種的詞意﹐也就是一個文字單詞指示多個概念﹐當要決定哪一個概念才是文章所表達的意思時﹐往往需要通過上文下理來判斷。但是在古希臘語中﹐必須在每一個單詞音素都完全吻合的情況下﹐才能夠正確讀取概念﹐這就是‘演釋法’ 的原型﹐也就是‘量化邏輯’ 的開始。如下﹐比較一下兩種語言(英語作例子)在單詞方面所提供的‘演繹性’ ﹕

顯然﹐阿拉伯文字不存在如‘屈折語’ 一般的‘演繹性’。在缺乏形成‘量化概念’ 與‘量化邏輯’ 的客觀條件下﹐‘量化思維’ 也就不可能在阿拉伯人的思維模式中產生了。

        因為沒有‘量化思維’ 模式﹐所以符號所指示的概念也就不可能得到‘量化分解’ ﹐直至成為最基本的概念單位。例如‘加’ 的概念﹐它只表示兩個量相加﹐再沒有其他多餘的語意﹐而且這個概念也不可再細分﹐顯然這是最基本的概念﹐可視之為‘量化概念’(或‘邏輯量化點’) 。‘量化概念’ 出現後﹐‘量化思維’ 就以一個符號來‘定義’表記這個概念﹐如同字母表記‘音素’ 一樣。可見﹐每一個數學符號在產生之前﹐都需要經過這樣一個‘量化分解’ 和‘定義表記’的過程﹐如下﹕

所以﹐數學符號的產生就與‘量化思維’ 模式息息相關。

      同時簡煉性對作為思維工具的符號來說﹐也具有特別重要的意義。但是﹐阿拉伯語的語序是‘謂主賓’ 的固定形式﹐這一種的語序不僅與邏輯的順序不符合﹐而且謂語沒有起到分隔主語與賓語的作用﹐而‘主語’ ‘賓語’ 因為屬於同語類的名詞﹐如果沒有謂語動詞作分隔而放在一起的話﹐這就需要額外的符號把‘主語’和‘賓語’分隔開來。這種情況發生在數學符號上﹐這樣就有需要添加多餘的符號來提供‘分隔’ 功能。試想像﹕‘1+2=3’這個數學運算式﹐這是‘主謂賓’ 語序﹐主語是1﹐謂語動詞是+﹐賓語是2﹐這部份是一個子句﹐然後=也是另一個謂語﹐3是另一個賓語。如果首先把子句以‘謂主賓’ 式放置的話﹐就成為﹕+ 1 2﹐這樣1 2這兩個概念就有可能混淆﹐如果使用字母代表﹐也是+ X Y XY放在一起也會混淆﹐如果整個數式以完整的方式出現﹐就是= + 1 2 3﹐這樣就更加混亂了。於是﹐只有通過添加至少1種額外的符號才能夠把意思表達得完美準確﹕= + 1 ) 2 ) 3。假如添加了只用作表達語法意義的符號﹐這樣就完全違悖了符號的簡煉性。我們可以回想一下﹐在現今的數學符號中﹐沒有一個是用作純粹指示語法而沒有指示數理關係的符號(()’ ﹑‘[]’ 這些符號表示首先執行的運算關係﹐不算與語法有關係) 。符號的使用只有減省的方式而非增加﹐例如‘乘號’ 在數位與字母之間可以省去﹐或以簡單的‘’來代替較為複雜的‘×’﹐這都是為了書寫的方便。古印度語也是使用非‘主謂賓’ 語序的﹐那是‘主賓謂’ 的固定語序﹐這種情況與‘謂主賓’ 語序一樣﹐沒有通過‘謂語’ 把‘主賓’ 語作分隔﹐同樣造成了開發符號系統的障礙。可見﹐語序對數學符號的表達起到關鍵性的作用﹐歐洲人要到了十六世紀開始﹐才在語格脫落﹐但同時也要保留語意和語法意義的要求下把語序固定下來﹐而固定的‘主謂賓’ 語序為發展數學符號提供到其中一個重要條件。

        數學符號的發展參考自語言模式﹐我們可以想像到﹐人類第一個想表達的數學關係式﹐很有可能是上面出現的加法關係﹐因為加法關係是最簡單直接的數量關係。如果在表達這個關係時發現﹐要表達這樣一個數量關係需要涉及到不少的符號﹐而且在表達出來後﹐看上去也並非十分的清晰﹐對比以純語言表達的方式沒有太大的分別。在這種情況下﹐人類就很有可能停步不前﹐從此放棄對數學符號的進一步探索﹐而回到繼續使用語言文字的形式。這種情況很有可能曾經發生在阿拉伯人和印度人身上﹐導致了數學符號發展的停滯不前。以下通過表格的形式﹐以各種思維元素為標準﹐比較英語﹑古希臘語﹑阿拉伯語與漢語具備發展數學符號的客觀條件﹕

 

英語

古希臘語

阿拉伯語

漢語

量化思維:

量化概念+量化邏輯

表記方式

 

使用字母符號

無。

古代的中國數學家在代數運算中也使用一定數量的漢字﹐作指示數學概念的用途﹐但它們並非像西方的字母符號一樣通過定義的過程﹐代換了未知數的數值﹐而字母也可以像數位一樣參與運算。在中國數學中﹐也使用如‘元’ 字作為指示‘未知數’ 的存在﹐‘太’ 指示‘常數項’ 的位置﹐也使用‘天﹑地﹑人﹑物’ 表示四個不同的未知數﹐XYZW等﹐但它們只起到指示表記其存在性的作用﹐沒有代換任何數量而加入運算的行列。這一點與現代數學的符號功能不一樣。

語言文字﹕

‘符素性’ 程度 (單詞中概念的單一程度)

最高

固定的‘主謂賓’語序‘

 

最後﹐只有十六世紀後的歐洲人能夠滿足以上四項的要求而突圍而出﹐發展出現代數學符號。

 

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