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‘思維工具’ 決定認知能力﹕[簡體版]

數學符號是一種符號系統﹐也是思維的工具﹐因此其中的符號必須要儘量的簡煉﹐它的簡煉性需要達到提煉概念的水平。如果﹐我們今天還像古希臘人一樣使用語言文字代替符號的話﹐我們也不可能有今日的數學成就和科技水平。這種情況曾經發生在十八世紀的英國‘後牛頓’ 年代﹐牛頓(Isaac Newton1643-1727)與當時德國數學家尼布萊茲(G. W. Leibniz1646-1716)﹐分別在獨立研究的情況下﹐發展出‘微積分理論’ ﹐也創造出兩套不同的數學符號來表記‘微積分’ 中的概念和關係﹐前者因為以‘’表示微分概念﹐所以牛頓的符號系統稱為‘點主義’ ﹐而後者尼布萊茲使用‘d 來表示﹐因此稱為‘d主義’ 。具體的表示方式可以通過以下的例子來說明。伽利略(Galileo Galilei1564-1642)曾經求得這樣的‘自由落體公式’ d=16t2d表示在時間t後自由落體所經過的距離﹐如果﹐我們想求得﹐在時間t=4(d=1642=256)﹐物體在那一瞬間的速度﹐我們就需要引入兩個量khh表示微小的時間變化﹐k則是在那時間後所經過的距離﹐因此得到﹕

256+k=16(4+h)=256+128h+h2

k =128h+h2

k/h=128+h

因為一個微小的量﹐可視之為0﹐所以h=0﹐然後得﹕k/h=128﹐這表示在時間t=4時﹐物體的速度為128。牛頓以指示k/h﹐得=128﹐這個就是‘流數’ 或‘流量’ ﹐英文為 ‘fluxion’ 辭源來自拉丁文‘flow 。‘流數’ 就是‘距離’ 或‘數量’ 在微小時間內的變化值。這種加‘點’ 的表示方式﹐現在僅用於工程學中﹐表示對時間的導數。但是對尼布萊茲來說﹐他 卻採用了另一種完全不一樣的方式來求得﹐這就是‘解釋幾何’的方法﹐如下。

他使用dy取代  h dx取代 kdydx則在x=4這一點上增多的量﹐這個量少得不能再少﹐比所有已知的量也少。因此﹐牛頓的‘流數’ 其實就是dydx構成的斜率﹐表示方法是﹕

從符號的表示可見﹐我們看到萊布尼茲比牛頓對‘流數’ 的概念表達得更加深入﹐牛頓的概念只停留在某個數量對時間的變化而構成‘流數’ ﹐他沒有像萊布尼茲那樣把這個概念再‘量化’為兩個量的比例關係﹐然後分別以不同的符號表示。相同之處是﹐這兩位‘微積分’ 創始人都未能在他們的著作中對這個‘微小的量’ 給出一個準確的定義﹐雖然兩者都提到過‘極限’ 這個概念﹐不過只停留在文字上觸及的層面﹐還沒有對‘極限’ 的概念作出深入的解釋。這件‘定義’工作要到Jean d'Alembert (1717-1783) 手上才獲得完滿的解決﹐而他的工作需要建築在萊布尼茲的符號工具上﹐把dydx的關係引入‘極限’ 的概念作定義﹕

如果沒有萊氏的符號系統﹐我們很難想像這樣一個定義可以通過牛頓的‘流數’ 方式來表達﹐正因為有效的符號釋放出的思維力量﹐萊氏把微分符號引伸到‘積分’ 概念中﹐以∫ydx (∫來自‘s 的變體﹐表示‘summation’ ﹐即‘和’ 的意思)清晰的反映出積分其實就是微分運算的逆運算﹐他首先提出了這條微積分學的基本原理。但是牛頓因為沒有使用有效的符號系統﹐所以他還停留在通過求近似值的方式來計算積分。因此﹐今天的微積分符號只採用當年萊氏創立的那一套系統﹐因為他的概念是牛頓‘流數’ 概念的再‘量化’﹐ 而且可以把這種‘量化’ 關係完全的反映在符號上﹐同時符號的表記方式也提供到一定的‘確定性’ ﹐讓dydx成為兩個獨立的‘量化量’ ﹐所以這個‘量’ 除了可以表示除法關係外﹐也可以表示‘積分’ 的乘法關係﹐更可以引入‘極限’ 的定義。因為﹐這個‘量’ 是獨立的﹐所以產生了‘微分導數’ 的‘連式法則’和各種函數的導數運算等﹕

(‘微分量’ 之間可以相消)

 dy/dx=f’(x), dy=f’(x)dx

x是一個函數時x=g(u),

那麼dx/du=g’(u), dx=g’(u)du,

最後可以表示為dy=f’(x)g’(u)du, dy/ du =f’(x)g’(u)  

可見微分導數中也具備‘四則運算’ 一樣的法則﹐能夠實現以上通過符號進行的思維操作﹐也是拜萊氏的微分符號所賜﹐如果我們至今還使用牛頓式的‘流數’ 符號﹐人類的思維能力一定受到這種符號的禁棝﹐而不知要比現在的認知水平落後多少了。

在歷史中﹐這種情況的確在英國發生了。在整個的十八世紀直至十九世紀時期﹐英國和歐洲大陸都分別使用不同的微積分符號。因為牛頓在英國的影響力﹐所以英國人使用‘點主義’ 微積分符號﹐而歐洲則使用‘d主義’ 。但是到十九世紀中﹐英國數學家巴巴克(Charles Babbage1791-1871)發現英國的數學﹐在使用了牛頓的‘點主義’ 後﹐因為這套符號在分析操作上比不上‘d主義’ 那樣的有效﹐而造成英國數學比歐洲大陸落後的後果﹐所以他呼籲英國人也應該使用歐洲的‘d主義’ ﹐而全面放棄原有的牛頓式符號。自此﹐延續百年的符號紛爭也至此而告上一段落﹐但是英國卻因為使用了不清晰的符號系統﹐而導致英國數學曾經一度失去了與歐洲學術界並駕齊驅的地位。一個小小的符號﹐真有想像不到的威力﹐但是只要明白到符號就是思維工具﹐符號扣動著大腦資訊處理的‘板機’ 。所以﹐在一方面它能夠釋放大腦中的思維力量﹐而另一方面也可以禁制思維能力。

現在﹐筆者想以古代的阿拉伯和中國數學為例子﹐說明一下在歐洲正式使用‘數學符號’之前﹐其他的民族在沒有數學符號作為工具的情況下﹐是如何解決‘代數’ 問題的。我們從以下的兩個例子中看到﹐沒有數學符號作為數理概念的提煉工具﹐人們只能以其他的表記形式和分析工具進行數量分析﹐而這種工具與數學符號相比﹐不僅不能有效的分析數理關係﹐而且它也不能總結普遍性的數學規律。在這種情況下﹐也就只能解決局部的數學問題﹐再沒有潛力來發展成為解決普遍問題的分析工具。因此這些工具只能成為數學符號出現之前的‘權宜’方法。在人類認知進步的車輪下﹐它們是一定要被淘汰的。

        西元九世紀的阿拉伯數學家﹐Al-Khwarizmi(被譽為‘代數之父’﹐790-840)著有‘代數’著作‘A Brief Account of the Methods of al-Jabr and of al-Muqabala (其中al-Jabr就是後來英文名詞‘代數’ 的出處﹐它的意思是‘轉換’ ﹐而al-Muqabala指的是‘平衡’ )。他對代數的主要貢獻﹐是首先對‘一元二次方程’ 作出過較有系統的研究。

‘一元二次方程’ 就是在方程中只有一個未知數﹐而且未知數帶有‘二次方’ 關係的方程。如下﹕

A x2+B x+C=0

而且這種方程最多有兩個解。因為當時沒有代數符號的幫助﹐阿拉伯只能像古希臘人一樣﹐需要依靠幾何的方式來解決這類問題。在幾何的範圍內負數是沒有意義和不存在的﹐所以阿拉伯人只能把‘一元二次方程’ 分解為以下的六種情況﹐然後再分別進行解答﹕

1.         ‘平方’等於‘根’ 。例子﹕x2=2x(‘平方’ x2﹐‘根’ x)

2.         ‘平方’等於數值 。例子﹕x2=4

3.         ‘根’等於數值 。例子﹕2x=2

4.         ‘平方’ 與‘ 根’等於數值 。例子﹕x2+10x =39

5.         ‘平方’ 數值等於‘根’。例子﹕x2+21 =10x

6.         ‘根’ 數值等於‘平方’。例子﹕5x +6 = x2

以上前三種清況是很容易解決的﹐至於以後的三種情況﹐就需要借用幾何的方式找到解決問題的步驟﹐然後用文字形式把求解的計算步驟敘述出來﹐把它固定為一種文字‘公式’。筆者將以第45種情況為例﹐嘗試向讀者介紹一下這些有趣的‘非代數’ 解決方法。

情況4x2+10x =39

阿拉伯人將會作出以下的幾何圖形﹕

當用幾何方法成功解決問題後﹐阿拉伯人再用文字方式把計算步驟固定下來﹐成為一種普遍法則﹐也就是文字公式﹐如下﹕

*         把‘根’分作一半﹕

現在‘根’的數值為10﹐一半是5

*         然後把這個結果作平方﹕

5的平方是25

*         把這個結果與方程中的‘數值’相加﹔

也就是2539等於64

*         然後再開方﹕

64開方是8

*         把結果減去‘根’ 的一半﹐這個結果就是問題的‘解’﹕

這是8-5=3

從上面的文字公式﹐我們可以把不同的數值代進入到‘公式’中﹐再經過公式中的操作步驟就可以求得答案。

情況5x2+21 =10x

文字敘述為﹕

*         把‘根’分為一半﹕

10的一半是5

*         然後把這個結果作平方﹕

5的平方是25

*         從這個結果中減去方程中的‘數值’﹕

25-21=4

*         把這個結果再開方﹕

4的開方是2

*         用根的一半減去這個結果﹐這就是問題的‘解’。

5-2=3

以上就是阿拉伯人在沒有代數符號的情況下﹐利用了幾何分析和文字敘述的方式來解決‘一元二次’方程的方法。以下的內容又把我們帶回到西元十三世紀的中國宋代﹐看一下數學家李治是如何解決一元高次方程的﹐在中國的情況與阿拉伯人的有點不一樣﹐中國人發明瞭一種算術工具﹐名為‘算籌’ ﹐它作為‘算盤’ 的前身﹐是一種把數量以‘算板’ 上的‘算籌’ 作表示﹐然後進行算術運算的方法。雖然在算板上沒有使用到任何的數學符號﹐但是‘數量’ 的擺放位置起到‘列方程式’ 的一定作用﹐這樣的功能能夠令到代數方程中的數量關係顯得明朗化﹐以‘紅色’ 和‘黑色’ 表示的數量﹐分別表示‘加數’ 與‘減數’ ﹐這意味著允許‘負數’ 的存在。中國人解決一元高次方程的方法是使用‘近似法’ ﹐這比西方在十六世出現同類型的方法早了三百年﹐這種方法以反復演算的方式﹐把方程中的解以近似值的方式求出﹐所以這種方法其實可以應用到所有的一元方程上﹐中國人甚至把這種方法用作求解一元十次方程。

例﹐有如下的‘一元四次’ 方程﹕
-x3+7632x2-4064256=0

以算籌作表示的方式是﹕

中國人的做法是從‘常數項’ 的頭三位元數字估計一下‘解’ 的範圍﹐假設用80代入方程中﹐得到的結果比較接近﹐因此用x=y+80代入方程中﹐得到新的方程是﹕

-y4-302y3-30768y2-826880y+3820554=0

之後再估計一下解的數值﹐最後試到‘y=4 時﹐方程完全滿足而成立﹐所以方程的解為x=80+4=84

中國人採用這種算術式的方法﹐就可以完全發揮到‘算籌’ 這種中國獨有的計算工具的優點。基本上所有的一元方程只要花一定時間﹐就可以計算出近似的方程解﹐滿足到工程和實用計算的需要。因為﹐這種方法沒有對數理關係的進行深入分析﹐像以上的方程其實可以分解為多項因式﹐求出4個的方程解﹕

-(x+84)(x-84)(x-24)(x+24)=0    x=84-8424-24

要做到這一點﹐只有使用西方人發明的數學符號作為工具﹐才可能達到這種認知水平。中國雖然在後期也有一種以‘算籌’ 為工具﹐發展而來的多元方程‘消元術’﹐以‘天﹑地﹑人﹑物’

示最多4個未知數。但是這只是寫在算籌上﹐用作表記某位置上的數量和未知數的關係(如上圖)﹐然後再通過一定步驟的操作來作消元求解﹐但是這種‘未知數’ 的指示方法﹐就並非是現代數學中那種可以完全參與運算的指示符號了。

        至於幾何學方面﹐中國人比古希臘人畢氏提早500年發現‘畢氏定理’ ﹐但是如果我們比較古希臘人(阿拉伯人也採用古希臘式幾何學)與中國人對‘畢氏定理’ 的證明方法﹐我們就會發現相對古希臘式的‘幾何學’ 方式﹐中國人卻採用了一種拼圖式的‘巧妙’方法﹐這種方法不是建基在‘幾何學’ 的演繹邏輯與公理體系上﹐而是通過對圖形特徵的觀察﹐‘模擬’ 出直角三解形與正方形的外形特點﹐也就是外形‘屬性’(如下﹐可通過‘象化符號系統’ 作表示)﹐然後對它們作拼合後再總結而成的定理。

這種方式完全採用了‘象化思維’ 中‘取象模擬’ 的操作﹐實際就是一種‘象化思維’ 的智慧產物(請參考專章‘中國式的機智與聰明’) 。現在﹐就先讓我們來看一下歐幾裏德在《幾何原本》上的證明吧(如下)

        筆者把以上的求證方式簡化﹐但我們都可以看到這是一種不折不扣的幾何學求證方法。至於東方式的求證法出現在三國時代﹐數學家趙爽造出以下的‘勾股圓方圖’ ﹐他把圖中的直角三角形塗成‘紅色’ ﹐命名為‘朱實’ ﹐而中間的小正方形為‘黃色’ ﹐名為‘中實黃’ ﹐這樣通過圖形的拼合就可以‘不證自明’ 的求證出‘畢氏定理’。

以下筆者再列出兩種中國數學家曾經對‘畢氏定理’ 所作的證明方法﹐他們都使用‘拼圖’ 的形式﹐但只是在操作和圖形的拼合上有所差別而己﹐從中都可以體現出‘象化思維’ 模式。 例一相傳是西周數學家商高的證明方法﹐例二為《九章算經》的作者—數學家劉征的‘出入相補’ 法﹕

例一﹕

例二﹕

《九章算經》成書於西元50-100年間﹐它總結了先秦到秦漢以來的數學成就﹐可以視之為中國數學著作中影響最大的一本數學專著﹐在此書中收集了246條數學應用題和求解方法﹐列入九個篇章中。從這個九篇章的概要內容中﹐我們可以看到東方數學的研究物件﹐完全放在生活實用性上﹐這就與同一時期﹐作為現代數學前身的古希臘數學大相回異﹐以下是此書的概要﹕

第一章,「方田」:

平面圖形面積的量法及演算法,如矩形、三角形、圓、弧形、環形等的田地的求積公式,及分數演算法,包括加減乘除法、約分﹝將分母,分子用輾轉相除法求出它的最大公約數再作約分﹞、分數大小的比較及求幾個分數的算術平均數等。

 第二章,「粟米」:

        各種糧食交換之間的計算,討論比例演算法。

 第三章,「衰分」:

比例分配問題。

第四章,「少廣」:

          多位數開平方,開立方的法則。

 第五章,「商功」:

          立體形體積的計算。

  第六章,「均輸」:

處理行程和合理解決徵稅的問題,尤其是與人民從本地運送穀物到京城交稅所需的時間有關的問題,還有一些與按人口徵稅有關的問題,其中還夾雜著衰分、比例及各種雜題。

  第七章,「盈不足」:

算術中的盈虧問題的演算法,實際上就是現在的線性插值法,它還有許多名稱,如試位法、夾叉求零點、雙假設法等。

    第八章,「方程」:

有關一次方程組的內容,最後還有不定方程。將方程組的係數和常數項用算籌擺成「方程」,這是《九章算術》中解多一次方程組的方法,而整個消元過程則相當於代數中的線性變換。在方程章裏提出了正負數的不同表示法和正負數的加減法則。

    第九章,「勾股」:

          專門討論用畢氏定理解決應用問題的方法。  

最後總結一下以上所提及的代數求解和幾何證明﹐我們可以認識到﹐在沒有符號作為數理分析工具的情況下﹐阿拉伯人與中國人都發揮了本身在傳統數學工具上所具備的優勢﹐分別以幾何圖形與算籌的表記方式解決代數問題。在幾何證明方面﹐中國人以‘類比屬性’ 的拼圖方式來求證幾何問題﹐而古希臘人(包括阿拉伯人) 則通過幾何元素和幾何繪圖方法來求證﹐在缺乏幾何元素和公理體系的情況下﹐中國人的幾何研究只能停留在圖形的特徵上﹐而不能深入到點與線的關係中。對於代數研究﹐阿拉伯人以幾何方法代替代數符號﹐以幾何關係來分析代數中的數量關係﹐在某種程度上求得具有普遍性的‘文字公式’ ﹔而中國人則使用算籌作運算工具直接在數量上進行求解﹐這樣在不對數量關係作分析的情況下﹐中國人就只能求得方程的數量解而不是普遍解﹐這樣也就不可能找到具有普遍性的代數公式。以下在表一中﹐對西方﹑阿拉伯和中國在代數研究方面﹐所使用的工具和認知程度作比較。接著在表二中﹐比較了古希臘人與中國人在幾何學方面的相對應情況﹐也以此總結來結束本節。

表一

代數學

西方

阿拉伯

中國

分析工具

數學符號

 

‘幾何’圖形

 

-

計算工具

數學符號

數字

數字

算籌﹑數字

表達工具

數學符號

文字

文字

文字

認知物件

數理關係

幾何意義的數理關係

(非常有限的認知水平)

數量/算術關係

表二

幾何學

古希臘

中國

分析工具

幾何元素

圖形的面與線

表達工具

字母﹑幾何繪圖元素﹑文字

圖形﹑漢字

認知物件

點﹑線﹑面和空間位置等

圖形的外形特徵—‘屬性’

上一章節: 從‘自然語言’到‘符號’
 
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