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‘量化認知’ 的‘三大模式’ [簡體版]

古希臘時代的數學家把‘視覺圖像’ 分解為基本的‘量化概念’—點﹑直線和圓() ﹐然後創立‘幾何學’ 這一門數學分支。從那時開始﹐‘量化思維’ 通過發展‘理論系統’(客體)來認知‘外部世界’ (主體)的模式就已經完全定形。之後﹐同樣具有‘量化思維’ 的西方人所要做的事情﹐只不過是在這個認知模式的原型中﹐對其中的‘思維元素’ —‘量化概念’﹑ ‘量化邏輯’和‘表記方式’的內容作出修改或添加就可以﹐這樣就可以發展新的學術分支。本章是以數學與物理理論為主﹐具體來說﹐就是簡單講解一下發展新數學分支和建立新物理理論的過程。在思維的三大元素中﹐‘量化邏輯’ 的方式基本就是歐幾裏德幾何學的公理體系和演釋法則。‘表記方式’ 主要是‘數學符號’ ﹐數學符號令到‘量化概念’ 和‘量化關係’ 具備了存在的條件和表記的方法。因為整個‘量化思維’ 的操作模式就是‘循量而行’ ﹐也就是從‘量化概念’ 開始展開思維操作﹐所以﹐‘量化思維’ 在認知之前必須尋找系統中的‘量化概念’ ﹐然後再通過‘量化邏輯’ 作為輔助﹐對整個系統進行認知過程。於是﹐‘量化概念’是‘量化理論’ 中的‘基點’ ﹐改變‘量化概念’ 的內容﹐也就是改寫舊理論和建立新理論的開始。因此﹐‘量化思維’ 建立理論存在著以下的‘三大模式’﹕

*              建立新‘量化概念 ﹐新理論的開始﹐通過‘量化概念’ 構成‘客體’ ﹐對認知物件主體’ 進行認知。

*              對舊‘量化概念’的再‘量化’ ﹕分解現有的‘量化概念’ 為更基本的單位﹐以此作為新的‘量化概念’ ﹐這意味著‘新理論’ 不僅可包容和解釋舊的理論﹐而且可以得出更多的結論﹐認知水平更加深入。

*               對舊‘量化概念’的否定或代換﹐以新‘量化概念’作取代﹐這是新理倫的開始

讀者在一時之間﹐可能不能憑以上三點撮要性的總結﹐完全明白‘量化思維’ 的理論建立模式。但是﹐筆者會以數學理論的發展來作具體講述﹐到時我們就可以加深對‘量化思維’ 的認識﹐也明白到‘量化思維’ 是如何運作的。

 

‘解析幾何’ 及‘微分幾何’—‘量化理論’ 建立模式二

在古希臘時代開始的‘歐幾裏德幾何學’ ﹐其中的‘量化概念’是‘點’ ﹑‘直線’ 和‘圓’ 。這些幾何元素構成了‘幾何學’ 的研究物件。雖然﹐古希臘人知道‘點’ 是一切幾何圖形中最基本的單位﹐‘直線’ 的定義(定義四) 說到﹐‘直線上均勻分佈著點’ 。換句話說﹐就是‘點’ 組成了‘直線’ 。不過﹐因為‘點’的定義已經指出‘點’ 本身沒有‘大小尺寸’ ﹐只可能用作表示‘空間位置’ ﹐而且幾何學中主要的表記工具是‘直尺’ 和‘圓規’ ﹐它們繪畫出來的是‘線’ 而非‘點’﹐雖然‘字母’ 可指示‘點’ 的存在位置﹐但是這僅僅是在表記媒體(如紙)上的位置﹐不能表達出這個‘點’ 本身的任何內容與狀態﹐所以‘點’ 的獨立出現沒

有具體的意義﹐更沒有‘確定性’ 的存在。它的存在只能通過‘線’ 來反映。當兩線相交的時候﹐我們可以確定‘點’ 存在於兩線相交的位置上﹐還有當一條線段出現時﹐我們肯定線段的兩端為‘點’ 的存在。可見﹐在幾何學中﹐‘點’ 雖然在名義上是所有幾何圖形的基本單位﹐但因為缺乏了‘量化概念’ 所要求的‘確定性’ ﹐所以﹐‘點’ 的概念只能依附著‘線’ 的概念而存在。從真正的‘量化’意義看﹐直尺與圓規所作的‘直線’ 與‘圓()  因為具有‘確定性’ ﹐而與概念上的‘點’成為幾何學中完整的‘量化概念’—最基本和不可分解的概念

        到了十六世紀的歐洲﹐笛卡爾在統一代數和幾何學的願望下﹐發展出‘解析幾何學’ 這一門數學分支。首先﹐在解析幾何學中﹐以兩條互相垂直的直線相交作為座標﹐上面有X-Y軸的位置數值﹐相交的點為‘原點’ 。在這種系統中﹐‘點’的概念就可以通過XY軸上的數值來確定﹐點a就可以表記為﹕a(x,y) XY軸上的數值確定了這個點與X-Y軸之間的距離﹐這就是‘點’ 所包含的內容﹐這提供到無可非議的‘確定性’ 。因此﹐在解析幾何學中‘點’ 的概念就真正因為具有了‘確定性’ 而成為了‘量化概念’ 。這就意味﹐解析幾何學把幾何學 中的‘量化概念’再‘量化分解’ 為更小的‘單位’ ﹐然後以這個新的單位對目標系統進行認知﹐這就是‘量化理論’ 的建立模式一。現在﹐在解析幾何學中﹐直線的概念也同樣的通過兩個點來決定﹐這樣線段的長度就可以通過線段兩端座標數值的函數來表示﹕

而且﹐解析幾何學還可以通過座標上的函數關係y=f(x)表示包括直線在內的所有線﹕

這就說明﹐在‘量化思維’的認知模式下﹐只要把‘量化概念’ 再分解為更小的‘量’ ﹐這就能夠通過這個小量來認知更多有關物件的內容。以‘量化概念’的內容比較﹐幾何學與解析幾何學之間的差別是﹐後者細化了前著的‘量化概念’ ﹐然後再以這個新的‘量化概念’作認知基礎﹐這樣不單可以認知到前者曾經達到的水平(解析幾何方法同樣可以證明幾何學上的命題﹐例如‘三解形內角和’ 180度這樣的定理) ﹐而且可以獲得物件更多的資訊。例如﹐只有解析幾何學出現後﹐才可能對各種不同的曲線進行研究﹐還有瞭解到曲線各個位置的‘斜率’ ﹐在這個客觀基

 礎上﹐才可能在日後創立出‘高等數學’ 這門數學分支。但是﹐幾何學也是解析幾何學的基楚﹐根據‘量化概念’由整體到分解的時間過程﹐我們可以肯定幾何學與解析幾何之間存在著‘因果關係’ ﹐還有解析幾何學與幾何學一樣也是‘量化思維’ 的產物。‘量化思維’的認知模式﹐就是對系統中‘量化概念’作不斷分解的過程。因此解析幾何學在十九世紀﹐也同樣像歐幾裏德幾何一樣出現概念的再分解﹐成為了‘微分幾何學’ 的新數學分支。這種‘微分幾何學’ 是研究‘曲面’ 的數學方法﹐它認為傳統的幾何學與解析幾何學﹐只是研究‘平直’空間的情況﹐也就是說‘空間’ 是‘平坦’ 的﹐如果﹐空間如同‘球面’ 的表面一樣彎曲的話﹐情況就會不一樣。為了表示這種空間的‘扭曲’ 程度﹐微分幾何學在解析幾何學中‘平坦’ 的坐標系數值上﹐引入了兩個參數pq﹐指示‘空間’ 的‘扭曲’ 程度。因此﹐在解析幾何學中‘點’的概念被再分解了﹐現在成為了pq的函數﹐如下﹕

x=x(p,q), y=y(p,q), z=z(p,q)

因此﹐長度在解析幾何學中表示為﹕

l=x2+y2+z2

現在在微分幾何學中則表示為pq的征分函數。

l=Edp2+2Fdpdq+Gdq2        (E,F,G pq的函數)

微分幾何把解析幾何中的‘量化概念’再作分解﹐之後再以此來認知空間系統。所以﹐微分幾何學所認知的內容也包括平面空間的情況﹐只要‘曲率’ 為零時﹐微分幾何學的物件就回復到位於平直空間上的傳統幾何學問題。在‘量化概念’的角度看﹐微分幾何學是把解析幾何學中的‘量化概念’ 進行再分解後﹐發展出來的新數學分支﹐同樣運用了‘量化理論’ 的建立模式一。

極座標與虛實數座標—‘量化理論’ 建立模式三

        極坐標系統是一種不同於‘笛卡爾’ 式的坐標系統﹐它通過原點上的角度和從原點至‘點’的長度來表示一個座標‘點’的位置。

極坐標系統和虛實數坐標系統的產生都使用了‘量化理論’ 的建立模式三﹐把原有的‘量化概念’轉換為另一種的‘量化概念’ ﹐以‘長度’ 與‘角度’ 的方式來標記﹐然後就可以把整個的認知物件以新的‘量化概念’ 來作重新的認識﹐同時產生了另一門‘數學分支’ —極坐標系統。

往往與極座標一起使用的另一種坐標系統是‘虛實數座標’ ﹐‘虛數’與‘實數’是兩種完全不同種類的數量概念﹐它們之間互不干涉﹐也就是在實數數軸中沒有虛數的存在﹐而在虛數中也不能找到實數﹐這種‘互不相容’ 性就如同二維空間的XY軸一樣﹐也是互不干涉而互相垂直的。所以﹐在‘笛卡爾’ 座標中的‘量化概念’XY值﹐也可以轉換為‘實數’ 與‘虛數’ 數軸﹐在‘量化概念’被轉換後﹐一個全新的認知系統也隨之而產生。以下是轉換‘量化概念’ 來建立新理論的方式﹕

(i=-1)

對數表—‘量化理論’ 建立模式二

‘對數’的出現也是把數量的基本概念分解開來(如下圖)﹐令到每一個數成為一個以‘10 為底數的次方數量﹐完成了這個分解過程後﹐數量之間的較為複雜的‘乘法’ 運算就可以簡化為‘冪(次方數量) 之間的‘加法’運算﹐這樣只要在事先把大部份的數量化為10為底數的次方形式﹐把數的次方數量彙編成表﹐這就是所謂的‘對數表’了。‘對數表’ 發明於十六世紀﹐它的出現另到當時及以後在天文計算得到簡化﹐這就令到天文學家能夠在更短時間內得到大

量和準確的天文數據﹐開普勒也因此而有可能從大量的天文數據中﹐總結出有關行星的運動規律而提出‘開普勒三大定律’﹐‘對數表’ 不僅對天文計算有利﹐而且也廣泛應用於工程計算中。直至到二十世紀﹐‘對數表’才逐漸被計算器()所取代。

 ‘機率學’ 與‘拓樸學’—‘量化理論’ 建立模式一

機率學與拓樸學的產生﹐都應用了‘量化理論’ 建立的模式一﹐就是在定義‘量化概念’後﹐以此作為基礎對認知物件進行全面認知而發展出的理論。

        人類對機率的正式研究開始於十七世紀﹐如果要我們想像一下‘機率’ 問題最常出現的地方會在哪里呢﹖我們都會異口同聲的回答﹐是在賭摶場上。對﹐人類把‘機率’ 作為真正的認知物件也是由一個賭徒向十七世紀法國數學家柏斯卡(Blaise Pascal1623-1662)提出的‘賭摶’ 問題開始的。之後﹐當時另一個法國數學家費爾馬(P.Fermat ,1601—1665)也對‘機率’ 問題進行過研究。這基本上就是‘機率’ 問題成為今天一門重要數學分支的開始。

        其實﹐說到賭摶活動﹐可以說是一種在世界各地都普遍存在的現象﹐只要有人出現的地方﹐隨之而來都會有作為娛樂活動的‘賭摶’ 行為。但是﹐要對它進行系統的學術研究﹐也就只有歐洲人才能做到這一點。因為今天的‘機率學’ 起源自‘量化思維’對機率問題認知的過程﹐也只有在‘量化思維’ 的認知模式下才可能令到‘機率學’ 發展成為專門科學。如果﹐沒有把當年古希臘人認知圖像資訊所發展出幾何學的模式﹐套用到認知‘機率’ 的問題上﹐也不可能令到一種‘遊戲’ 現象成為數學的研究物件。如果換作以‘象化思維’ 來認知機率問題﹐‘象化思維’ 會把‘機率’ 現象歸納到‘運氣’ 的‘象化概念’內﹐而不是把這個認知物件進行‘量化分解’ ﹐‘象化思維’ 可能也會把‘運氣’ 的程度或是‘屬性’以‘象化邏輯’ 方式與‘時辰’ ﹑‘風水’ 或周圍人物的‘五行生克’ 拉上關係﹐以此模式發展出來的絕不是‘數學’ 而是‘玄學’ 而己。

        大自然的世界和人類的文明社會其實就是一個充滿機率的埸所﹐在我們生活的每一秒鐘裏﹐都可以碰到‘機率’ 的問題﹐天氣的好壞是機率﹐走在路上會不會遇見熟人或發生意外﹑回到家的晚飯吃甚麼是機率﹐在經濟市場上的價格起伏就更是機率﹐只要有我們不能掌握和預知的事情﹐就有機率問題的存在。而歐洲人以‘賭摶’ 問題作為‘機率’ 研究的入手處﹐這是因為‘機率’ 情況在這裏反映得最為明顯﹐還有因為有直接的金錢利益關係﹐所以問題就特別引人重視。不過﹐更主要的原因是前者﹐在一個較簡單和‘確定性’ 較高的地方入手作認知過程﹐這也是‘量化思維’ 進行認知外部資訊的慣用手法。對‘量化思維’ 來說﹐出現在生活中變化無常的‘機率’ 問題必須要首先作‘量化分解’(如下圖)﹐直至達到一個不可再分割和絕對可以‘確定’的情況﹐從這裏建立‘量化概念’ ﹐然後再開展全面的認知過程。

‘量化思維’ 把各種不同的‘機率’ 情況分解為一種簡化的‘機率’ 操作—抽球遊戲。以下圖我們可以看一下‘量化思維’ 怎樣把‘量化概念’ 從這個事件的各個元素中建立起來。

認知‘機率’ 問題﹐基本上就是從建立(定義) 的兩個‘量化概念’ 開始﹐‘事件’和‘機率’﹐其中後者也是兩個基本概念‘預期的結果數量’ 與‘所有可能的結果數量’ 的除法結果。這些‘量化概念’ 顯然是‘機率’ 問題中‘不可再分解’ 的基本因素﹐而且都是可見和可感知的事件和物體(就像是‘抽球’ 的遊戲和‘球’ ) ﹐它們都具備了‘確定性’ ﹐所以完全具備了成為‘量化概念’ 的條件。當建立好‘量化概念’ 後﹐配上‘演繹法則’ 和‘數學符號’ 成可以構成‘機率’ 中認知物件的‘客體’﹐整個‘量化理論’ 就可以成形。機率學的理論也就可以對更複雜﹐如天氣﹑市場變化和意外發生等問題進行認知研究。

如同機率學一樣﹐‘布林代數’ 的產生就是研究‘事件’在‘機率學’ 範圍外的情況﹐‘0 與‘1 ﹐分別指‘發生’ 與‘不發生’ 這兩種截然對立的狀態。布林代數在十九世紀中由英國數學家布林(George Boole, 1815-1864)提出﹐這是一門對‘事件’ 關係作認知的數學分支﹐它不研究事件發生的‘機率’ ﹐而認識‘事件’ 之間的邏輯關係﹐具體來說是一門邏輯科學。每一個事件只有‘是’ 與‘否’ 的兩種狀態﹐正如現實生活中的‘能夠’ 與‘不能夠’ ﹑判斷上的‘是’ 與‘非’ ﹑事件發生上的‘發生’ 與‘沒有() 發生’ ﹐程度上的‘達到’ 與‘不達到’ 等﹐‘量化思維’ 為了能夠認知‘事件’ 的狀態與事件之間的邏輯關係﹐把認知物件‘量化分解’為‘是’ 與‘否’ 的兩個基本狀態概念(如下圖)。‘量化概念’就建立在‘是’

‘否’ 的兩個不可再分割的單位上﹐然後定立出‘量化概念’之間的邏輯法則來認知這種互動關係﹐這是布林代數的運演算法則。對‘量化理論’ 模式而言﹐這就是‘邏輯量化點’ 。可見﹐布林代數這門數學分支的發展重點﹐建立在‘邏輯量化點’ 上﹐它的‘量化概念’ 相對機率學來說就簡單得多﹐因為機率學和布林代數在理論重點上各有不同。

 在‘量化概念’和‘量化邏輯點’都確立的情況下﹐布林代數作為新的‘量化理論’就可以成立了。

        ‘拓樸學’的始創人是十七世紀的德國數學家歐拉(Leonhard Euler1707-1783)﹐他由解決‘七橋問題’ 開始﹐經過研究不同的多面形體後﹐得出‘歐拉定理’ ﹐這可以算是‘拓樸學’ 最早的理論。

        拓樸學不同于普通的幾何學﹐它不研究點與線的空間位置和空間關係﹐它的對像是構成形體中點﹑線與面之間的數量關係﹐而非長度或空間位置。面對‘七橋問題’(如下左圖中有 7條橋﹐問題問是否可以不重複的走完 7條橋﹐每條橋只能走一次 ) ﹐‘量化思維’ 就會把‘認知物件(主體)(下左圖 ) 分解和簡化為最基本的形式—客體(下右圖) ﹐這就是解決‘七橋問題’ 的關鍵了。

在面對形體時﹐‘量化概念’ 是建立在點﹑線和麵的數量上﹐而非像幾何學的空間位置上。改變了‘量化概念’ 的形式﹐全新的‘量化理論’ 也就可以建立起來(如下圖)

可見在拓樸學中﹐‘量化概念’是點﹑線和麵﹐而認先的對像是它們的數量而非空間位置。基於不同的‘量化概念’ ﹐雖然同樣是對形體作研究﹐但由此引伸而出的理論就截然不一樣﹐從而發展出不一樣的學術分支。

 微積分—‘量化理論’ 建立模式二

        有關微分的概念﹐在西方真正產生‘微積分學’ 之前﹐西元四世紀的阿基米德已懂得通過無限切割或細分的方法﹐求得如球體這種曲面的近似值。在中國的《莊子》一書中的‘天下篇’, 裏面記有‘一尺之棰,日取其半,萬世不竭’。三國時期的劉徽在他的割圓術中也提到‘割之彌細,所失彌小,割之又割,以至於不可割,則與圓周和體而無所失矣。’可見古希臘與中國的先哲智者都已經意識到﹐數量可以作無限微分而源源不絕﹐不過他們還只是停留在瞭解上﹐而沒有對這種性質加以進一步的認知﹐得到任何實質性的概念定義。這個工作雖然要到十八世紀由Jean d'Alembert (1717-1783) 通過引用‘極限’ 的概念﹐才最後完成對‘微分量’ 的定義﹐最後得到一個能讓西方學者都一致認同的解釋。

不過﹐‘微積分學’ 在十七世紀下半葉﹐由牛頓與萊布尼茲分別在前人的基礎上完成﹐雖然兩位創始者人都沒有對這個‘微分量’ 的定義給出一個讓當時學術界滿意的答案﹐就連他們本人對自已的解釋也不能滿意﹐但是他們都提及到這個概念與‘極限’ 有關﹐萊布尼茲更明白這個‘微分量’ 要比已知的所有量都少﹐他們都明白到這個量不等於‘零’ ﹐但在運算中有時可以把它們當‘零’ 一樣忽略掉﹐讓運算簡化。但是西方人能以可無窮分割的‘微分量’ 為基礎﹐最後建立出一個全新的數學分支‘微積分學’ ﹐而東方人只能停留在意識上的樸素認知﹐然後通過文字表達出來。造成兩者從相同的認識水平開始﹐但 卻最終產生出完全不一樣的認知成果﹐其中的原因完全是因為西方的‘量化思維’ 能夠把數量作進一步的‘量化’﹐直至得到這個不可再分割的‘微分量’ ﹐它的‘不可再分割性’ 來自它是一個比‘已知一切的量還少’ 的‘量’﹐但是它不等於‘零’ ﹐所以它是不可再分割的﹐而東方人對它的理解還在‘萬世不竭’ 的‘無窮’概念上﹐也就是停留在‘屬性’ 的認識上。同時﹐‘量化思維’ 模式不但通過定義給出了這個概念的‘確定性’ ﹐而且也使用符號來指示它﹐‘符號’ 對概念也提供到進一步的‘確定性’ ﹐這一點也是東方不能達到西方人的認知水平的原因。雖然劉征看出這種無限分割存在著極限﹐這就是跳不出‘圓周和體’的範圍﹐但是沒有符號對它作指示﹐在思維層面上也就不能完全接受這個概念﹐也不能把它作為一個‘量’ 而投入到分析運算(資訊處理)中。不過﹐牛頓則創造了這個‘符號’ ﹐表示出量在時間下所作出的微小改變 ﹐而萊布尼茲就使用dx的形式來表示‘微分量’ ﹐一個量對另一個量的微小變化就成了dy/dx 的表示形式。通過圖例可以總結如下﹕

經典物理學vs相對論理論—‘量化理論’ 建立模式三

        經典物理學也稱為‘牛頓物理學’ ﹐這套理論架構的建立人主要是牛頓﹐所以理論也以牛頓之名來命名。在這一套理論中有一個‘假設’ ﹐就是‘物體的速度以‘算術和’ 的方式不斷‘迭加’ 而沒有極限’ ﹐這個觀點與其說是‘假設’﹐也可算是一個‘邏輯量化點’ ﹐因為這定下了‘速度’ 之間的物理(數學) 關係。如果物體AV的速度前進﹐在A上發射出另一物體B﹐相對A的速度為V﹐那樣物體B的總速度就應該是U+V。如果物體B為光源﹐光速為C﹐那樣光速也應該為C+V。這個‘邏輯量化點’ 在當時的科技條件下﹐因為實驗的誤差比較大﹐所以不可以通過實驗方式來證實光速中不存在迭加現象。但是到了二十世紀初﹐當人類的科技可以達到以更精確的方式測量光速的時候﹐也就意外的發現‘光速’ 是恒定的而不存在迭加現象。於是根據演繹法則﹐‘量化思維’只能認為這個假設(量化邏輯點)是不正確的。因此﹐愛因斯坦(Albert Einstein1879-1955)就以‘光速具有恒定不變的速度’ 作為新的‘假設’ —‘量化邏輯點’ ﹐這一新觀點重新改寫了物體之間的邏輯關係﹐因此得出了更為精確的速度迭加模式﹐如果原有的速度分別是uv﹐新的速度和等於﹕

(注﹕c表示光速。)

可見﹐速度之間的關係並非是簡單的‘算術和’ 關係﹐而是要比‘算術和’小。如果速度越是接近光速﹐經典物理學的結果與相對論的就會相差越大。所以我們可以認為牛頓物理學在‘低速’ 的情況下﹐還可以‘準確’的反映物理世界的現象。

從經典物理學到相對論理論﹐正是‘量化理論’ 的建立模式三所提及的﹐把以前的理論中的‘量化概念(或邏輯量化點) 否定後﹐同時以新的概念內容取而代之﹐舊理論的正確性就會被完全推翻而新理論也得以建立起來。

 以上通過西方數學和物理理論的發展和其中一些分支的建立方式﹐可以具體的說明‘量化理論’ 的三種建立模式。讀者如果對這方面有興趣的話﹐不妨可以嘗試分析一下其他理論中的‘量化概念’ ﹐然後判斷一下這個理論是根據哪一個模式建立的。在有一定瞭解之後﹐我們可以認識到只要把這一套模式作為工具運用到認知其他方面上﹐然後就可以建立具體的理論分支。當二十世紀到來後﹐西方人把這一套已完全成熟的理論模式應用在各種不同的方面﹐作為認知各樣知識的途徑。因此﹐人類自二十世紀開始就產生了為數甚多的專門理論﹐如經濟學﹑統計學﹑分類學﹑運籌學﹑軍事科學和管理學等等﹐這都是在‘量化思維’ 的理論模式創立後﹐把這種模式應用到現實領域中的結果。直至現在﹐這種專門理論的建立趨勢還在繼續中。

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