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‘量化思維’的擴張 [簡體版]

模糊數學

        ‘模糊數學’(Fuzzy Mathematics) 現象在人類的日常生活中到處可見﹐但是這門理論的創立﹐卻要到1965年才由美國控制論學家紮德(L.A.Zadeh) 首先提出並完成。

        ‘模糊數學’與傳統數學的不同之處在於﹐後者的數量概念都是‘定量化’的﹐每一個數量都有清晰的定量﹐而現象或結論完全由這些‘定量’來決定﹐這就是‘定量現象’﹐還有一種是‘隨機量’﹐這是用作表達隨機事件發生的a可能性﹐而前者的‘模糊數學’卻用作表述‘模糊現象’。‘模糊現象’出現的地方往往與人類的知覺有關﹐‘模糊概念’也是人類主要的知覺判斷方式﹐這就如‘美麗’﹑‘年輕’﹑‘冷曖’等知覺概念﹐並非可以通過‘定量’來決定﹐這也不是使用‘二值邏輯’的‘是’與‘非’就能夠完全表達的問題。我們在瞭解過以下的‘禿頭詭論’後﹐我們就可以明白‘定量’式的判斷可能引發出的‘謬論’。

‘禿頭詭論’說的是﹐如果我們認為擁有N0根或以下的頭髮﹐這就算作‘禿頭’﹐用數值‘1’來表示﹐‘0’則表示‘不禿頭’﹐所以‘禿頭的事實’就可以通過以下的方式來表示﹕

那樣﹐N0+1根算不算作‘禿頭’呢﹖說這不算‘禿頭’ 好像有點不合理﹐因為只差那麼一根的頭髮﹐看上去也與‘禿頭’無異吧。於是﹐我們修正一下我們的判斷標準﹐讓它更加接近我們人類的常用標準範圍﹐這樣把N=N0+1也算作禿頭﹐如果這時N也算作‘禿頭’﹐那樣按新的標準類推下去的話﹐N+1也是‘禿頭’直至所有人都成了‘禿頭’。可見﹐以‘定量’的標準來模擬人類的感知概念—模糊概念就顯得很不準確。以上的‘詭論’說明﹐對人類的認知而言﹐在‘定量’標準之間﹐還存在著一個‘模糊量’的地帶﹐只有引入這個‘模糊量’﹐並把它與‘定量’一起作為分析的數據﹐這樣才能準確反映現實世界的情況﹐因為我們的世界除了有可以讓機器理解的‘定量’外﹐還有我們人類的理解標準—模糊量。因此﹐在傳統的‘是(以‘1’表示)’‘非(以‘0’表示)’標準之上﹐為了讓我們的認知體系變得完整﹐有必要在這兩個‘定量’標準作進一步‘量化分解’﹐成為以下的模式﹕

以上的‘隸屬度’就是‘模糊量’﹐總的來說﹐就是把‘是’以外的概念作出進一步‘量化分解’﹐‘非’的概念被一個小於‘1’並且可以無限趨近於‘0’的數量所取代。因此﹐‘禿頭’的標準以如下新的形式出現﹐為﹕

對這個‘禿頭’的‘隸屬度’也就表示出一個在‘禿頭’程度上的百分比﹐這個數量恰好能夠反映在我們日常的語言中﹐例如是‘不算禿頭(暗示也並非是‘頭髮’?盛)’﹑‘不太禿頭’﹐‘有些禿頭’等﹐這種‘隸屬度’也以語言的形式表現在形容其他的事物上﹐例如﹐‘大概是心理的影響’﹑‘有點冷’﹑‘十分漂亮’﹑‘多半是發燒了’﹐‘有七成把握’﹐‘還是有信心的’等等。‘模糊數學’畢竟是‘量化思維’的產物﹐它並非只是一種存在於大腦裏的‘模糊概念’﹐而是通過‘量化’的數值來表達這種只有生物才會有的判斷標準。以‘量化’的表達方式把主觀的因素完全轉變成客觀的數量﹐最後讓機器也能夠掌握到人類這種思維方式﹐創造更加接近人類思維能力的‘人工智慧’。現在﹐筆者就通過以下的一道應用題﹐向讀者介紹一下‘隸屬度’是如何求得的﹐還有有關‘隸屬度’的具體表達方式。因為本文並非‘模糊數學’的教材﹐只是通過‘模糊數學’概念作為說理的途徑﹐如果讀者對這門學科有興趣的話﹐可以找到其他講述這門學科的專著。所以﹐筆者在此就把其中的‘定義’與‘公式’等內容省略﹐只集中說明‘模糊數學’中的‘量化模式’。在以下的應用題中﹐筆者只列出計算的方法作為例子﹐而省略了對公式的說明。

        這道題是這樣的﹐如果我們認為24歲算作‘年輕’﹐那麼25歲以上的歲數對‘年輕’的標準﹐就可以表示為這個歲數對‘年輕’的‘隸屬度’﹐運算式可列如下﹕

於是﹐經過運算後﹐‘年輕’的‘隸屬度’可列表如下﹕

歲數

0

25

28

40

50

70

隸屬度

1

1

0.74

0.1

0.04

0.01

從以上算式可見﹐歲數越大﹐對‘年輕’這個標準的隸屬度也越低﹐但是這裏的‘隸數度’永遠也不可能等於‘0’﹐而只有無限接近‘0’。不過﹐‘隸屬度’低到一定標準後﹐如70歲的‘隸屬度’只有‘0.01’﹐我們可視之為‘年老’。如果﹐我們調整一下‘級數’的數值﹐把現在的‘5’提高一點﹐得出的相應‘隸屬度’也會相對增加﹐這反映在各人對‘年輕’的不同標準上。可見﹐這個公式也反映出了人類對標準存有主觀性的事實。

作為一門現代數學分支的‘模糊數學’﹐它同時應用到集合論﹑機率學與陣矩等多門數學技術上﹐其中的數學原理當然要比以上例子中的運算複雜得多﹐不過核心概念還是一樣的。以上例子只是舉出了只有‘一維’方面的‘隸屬度’﹐假如把它擴展到‘二維’的平面空間﹐‘模糊數學’技術也就可以應用於‘平面圖形’的分析上。例如像以下的圖形﹕

它的樣子看上去不是圓﹐同時也不是方﹐可算是‘半圖半方’。如果﹐我們使用‘點陣’對這個圖形進行分析一下﹐得到的結果可表示如下﹕

 

(注﹕把‘點陣’上帶有‘線段’的‘空間’轉換為‘1’﹐否則為‘0’﹐這樣就可以得到一個‘陣矩’。)

把這種分析同樣應用到‘方形’與‘圓’上﹐分別得到不同的‘陣矩’值。

在對平面圖形作出‘量化’後﹐經過‘糊模數學’的運演算法則﹐我們可以得到具體的‘量化’結果。認知圖形對‘方形’的‘隸屬度’達到0.5﹐對‘圓’的‘隸屬度’也有0.5之多。於是﹐這個圖形就完全符合了‘半圖半方’的客觀標準。如果﹐我們通過‘象化符號系統’來表述‘象化思維’的‘模擬’ 操作﹐可得到﹕

這些‘屬性資訊’只是大腦中的‘糊模量’﹐不存在‘確定性’﹐因此‘屬性’資訊的內容也因人而異。但是﹐現在‘模糊數學’卻對這種‘模擬’操作進行了‘量化’處理﹐如下﹕

如果﹐把這種技術再作深化﹐它還可以用於更加複雜的‘字形’辨認方面。例如﹐辨別‘手寫體’的符號文字包括漢字。辨別的模式大致可作如下表示(以‘大’ 字為例)

從以上的例子可見﹐‘模糊數學’在一定程度上達到了大腦的‘模擬’能力﹐而‘模擬’能力卻是‘象化思維’最核心的思維模式。從本書中﹐我們已經明白到‘象化思維’的發展過程﹐它起源自使用了具表意功能的‘漢字’﹐漢字的字形進一步增加了大腦的取象能力﹐而且漢字的表意性把這種能力由原始的‘圖像’提升到‘概念’層面﹐‘概念’的‘模擬’操作也隨之而形成﹐並且把邏輯能力也固定在‘象化邏輯’這種模式上。因為使用了不一樣的文字﹐古希臘人卻可以通過‘完全表音’字母的使用模式而走向另一個方向﹐由‘聽覺思維’發展成為我們所知的‘量化思維’模式﹐我們已經明白把創制古希臘字母的思維模式應用到‘視覺’上﹐古希臘人就開始了他們研究幾何學的偉大歷程﹐之後的故事也就是現代的西方科學文明。現在﹐‘量化思維’ 的認知箭頭通過‘模糊數學’又瞄準了‘象化思維’﹐這是外向型的思維模式在認知過程中的必然做法。現在﹐我們把‘象化思維’模式的基本元素歸納為主要的幾點﹐可列如下﹕

*         ‘象化概念’

*         ‘模擬’操作

*         最基本的‘象化邏輯’﹕‘互屬性’與‘包容/遞進性’。

從上文中﹐我們看到‘模糊數學’所表現出的‘類比’操作模式﹐雖然以上的例子所提及的範圍只是對‘平面圖像’的辨認﹐但是它同樣可以用於‘概念’的內容上﹐‘中醫系統’就是一個很好的例子。筆者將把這個例子放在稍後的地方﹐再作詳細闡述。總的來說﹐‘模糊數學’已具備了‘模擬’操作的能力。至於﹐對‘象化概念’的表示方式﹐‘模糊數學’可以把‘象化概念’的內容完全‘量化’﹐把‘象化資訊’的內容提高到具有‘確定性’的地位﹐令其‘有限化’。請讀者回顧一下有關‘陽’字的‘象化概念’﹐在之前的文章裏表示如下﹕

經過‘模糊數學’作處理後的‘陽’可如下﹕

       

‘量化’的‘隸屬度’成為‘陽’這個初級概念﹐向有語意關係的詞語作擴展的途徑﹐‘陽’的概念內容也以這種方式在不斷增加中。至於﹐最後一環的‘象化邏輯’﹐‘量化思維’可通過建立‘邏輯量化點’的方式來代替‘互屬性’與‘包容/遞進性’﹐例如可以設定對‘隸屬度’的‘量化’標準來確定‘隸屬’關係的雙方在怎樣的數值範圍下﹐表示出‘互屬性’或‘包容/遞進性’的邏輯關係。再以‘手寫體’‘大’字的辨認作為例子﹐如果‘隸屬度’達到0.9或以上時﹐我們可視‘手寫體’等於‘標準字’

可見﹐‘模糊數學’只要繼續發展下去﹐在整個數據運算與儲存能力上提高後﹐‘模糊數學’也就可以越來越模擬出‘象化思維’的思維模式﹐那樣機器所具備的思維能力也就向人類更加的靠近了﹐機器的智慧在接近人類的情況下﹐也就從機器代替人類工作過渡為代替人類思維。筆者指的是具創造力的‘思維’﹐到時人類的認知先鋒可能不再是人類自已﹐而是從機器的認知結論中學習。正如﹐IBM的國際象棋機器‘深藍’﹐已經創下了計算機打敗國際象棋大師的紀錄﹐它的運算速度在每一步棋規定的三分鐘時間內﹐可以作出最多一千億個棋步﹐並且在計算機中已存下近一百年中象棋大師的棋譜。而且﹐深藍被發現走出了很多人類意想不到的棋步﹐因此我們可以相信人類完全有從計算機身上學習棋步的價值與可能性。如果人工智慧可以進一步類比包括‘象化思維’在內的思維能力﹐假以時日‘象化思維’的思維模式也可以通過‘模糊數學’落入‘量化思維’的掌握之中﹐成為‘量化思維’以‘模糊數學’為形式作表達的一部份思維能力﹐這就是筆者所提出的‘量化思維’的擴散。中醫學為‘象化思維’的產物﹐如果把‘模糊數學’應用到中醫辨證上﹐於是在本書中所提的中醫理論模式裏有關‘辨證’方面的‘主觀性’就可能大為降低。現舉一例﹐假設有一位病人出現自汗﹑惡塞﹑咳嗽和氣喘的病症﹐根據‘八網辨證’的方式﹐我們通過大量的數據﹐已經總結出以下對‘八網’的‘隸屬度’

自汗

惡寒

咳嗽

氣喘

0.3

0.3

0.3

0.7

0.3

0.3

0.3

0.3

0.8

0.3

0.3

0.8

0.4

0.2

0.2

0

0.5

0.3

0.8

0.6

0.3

0.3

0.2

0.3

經過‘模糊數學’ 的運算後﹐我們得到相對應的‘證’﹕

 

0.6

0.3

0.3

0.3

0.8

0.3

0.4

0.3

因此﹐可見主‘證’為‘肺虛’(‘隸屬度’為0.8﹐最高)﹐從‘證’為‘肺寒’ (‘隸屬度’為0.6)。於是﹐立處方時就可取補肺為主﹐溫肺為輔的方式來治療。這樣﹐在中醫診治過程中﹐從看症到‘辨證’的過程就可以更加‘客觀化’了。

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